排列演算法 遞迴

int combination( int n, int k)

c(n,k) = c(n-1,k) + c(n-1,k-1);

組合數的奇偶性判定方法為:

結論：

對於c(n,k),若n&k == k 則c(n,k)為奇數，否則為偶數。

證明：

利用數學歸納法：

由c(n,k) = c(n-1,k) + c(n-1,k-1);

對應於楊輝三角：

1 1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

可以驗證前面幾層及k = 0時滿足結論，下面證明在c(n-1,k)和c(n-1,k-1) (k > 0) 滿足結論的情況下，

c(n,k)滿足結論。

1).假設c(n-1,k)和c(n-1,k-1)為奇數：

則有：(n-1)&k == k;

(n-1)&(k-1) == k-1;

由於k和k-1的最後一位(在這裡的位指的是二進位制的位，下同)必然是不同的，所以n-1的最後一位必然是1

現假設n&k == k。

則同樣因為n-1和n的最後一位不同推出k的最後一位是1。

因為n-1的最後一位是1，則n的最後一位是0，所以n&k != k，與假設矛盾。

所以得n&k != k。

2).假設c(n-1,k)和c(n-1,k-1)為偶數：

則有：(n-1)&k != k;

(n-1)&(k-1) != k-1;

現假設n&k == k.

則對於k最後一位為1的情況：

此時n最後一位也為1，所以有(n-1)&(k-1) == k-1，與假設矛盾。

而對於k最後一位為0的情況：

則k的末尾必有一部分形如：10; 代表任意個0。

相應的，n對應的部分為： 1*; *代表0或1。

而若n對應的*中只要有乙個為1，則(n-1)&k == k成立，所以n對應部分也應該是10。

則相應的，k-1和n-1的末尾部分均為01,所以(n-1)&(k-1) == k-1 成立，與假設矛盾。

所以得n&k != k。

由1)和2)得出當c(n,k)是偶數時，n&k != k。

3).假設c(n-1,k)為奇數而c(n-1,k-1)為偶數：

則有：(n-1)&k == k;

(n-1)&(k-1) != k-1;

顯然，k的最後一位只能是0，否則由(n-1)&k == k即可推出(n-1)&(k-1) == k-1。

所以k的末尾必有一部分形如：10;

相應的，n-1的對應部分為： 1*;

相應的，k-1的對應部分為： 01;

則若要使得(n-1)&(k-1) != k-1 則要求n-1對應的*中至少有乙個是0.

所以n的對應部分也就為 ： 1*; (不會因為進製變1為0)

所以 n&k = k。

4).假設c(n-1,k)為偶數而c(n-1,k-1)為奇數：

則有：(n-1)&k != k;

(n-1)&(k-1) == k-1;

分兩種情況：

當k-1的最後一位為0時:

則k-1的末尾必有一部分形如: 10;

相應的，k的對應部分為 : 11;

相應的，n-1的對應部分為 : 10; (若為11,則(n-1)&k == k)

相應的，n的對應部分為 : 11;

所以n&k = k。

當k-1的最後一位為1時:

則k-1的末尾必有一部分形如: 01; (前面的0可以是附加上去的)

相應的，k的對應部分為 : 10;

相應的，n-1的對應部分為 : 01; (若為11，則(n-1)&k == k)

相應的，n的對應部分為 : 10;

所以n&k = k。

由3),4)得出當c(n,k)為奇數時，n&k = k。

綜上，結論得證!

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