蒙特卡羅方法

蒙特卡羅方法（monte carlo method）

蒙特卡羅方法又稱統計模擬法、隨機抽樣技術，是一種隨機模擬方法。

以概率和統計理論方法為基礎的一種計算方法，是使用隨機數（或更常見的偽隨機數）來解決很多計算問題的方法。

將所求解的問題同一定的概率模型相聯絡，用電子計算機實現統計模擬或抽樣，以獲得問題的近似解。為象徵性地表明這一方法的概率統計特徵，故借用賭城蒙特卡羅命名。

蒙特卡羅方法的基本思想

用事件發生的「頻率」來決定事件的「概率」。

考慮平面上的乙個邊長為1的正方形及其內部的乙個形狀不規則的「圖形」，如何求出這個「圖形」的面積呢？monte carlo方法是這樣一種「隨機化」的方法：向該正方形「隨機地」投擲n個點，有m個點落於「圖形」內，則該「圖形」的面積近似為m/n。

複雜問題

比如金融衍生產品（期權、**、掉期等）的定價及交易風險估算，問題的維數（即變數的個數）可能高達數百甚至數千。對這類問題，難度隨維數的增加呈指數增長，這就是所謂的「維數的災難」(curse of dimensionality)，傳統的數值方法難以對付（即使使用速度最快的計算機）。

monte carlo方法能很好地用來對付維數的災難，因為該方法的計算複雜性不再依賴於維數。以前那些本來是無法計算的問題現在也能夠計算量。為提高方法的效率，科學家們提出了許多所謂的「方差縮減」技巧。

「擬蒙特卡羅方法」(quasi-monte carlo方法)

這種方法的基本思想是「用確定性的超均勻分布序列(數學上稱為low discrepancy sequences)代替monte carlo方法中的隨機數序列。

蒙特卡羅方法的基本原理

設有統計獨立的隨機變數xi(i=1，2，3，…，k)，其對應的概率密度函式分別為fx1，fx2，…，fxk，功能函式式為z=g(x1，x2，…，xk)。

首先根據各隨機變數的相應分布，產生n組隨機數x1，x2，…，xk值，計算功能函式值 zi=g(x1，x2，…，xk)(i=1，2，…，n)，若其中有l組隨機數對應的功能函式值zi≤0，則當n→∞時，根據伯努利大數定理及正態隨機變數的特性有：結構失效概率，可靠指標。

對影響其可靠度的隨機變數進行大量的隨機抽樣，然後把這些抽樣值一組一組地代入功能函式式，確定結構是否失效，最後從中求得結構的失效概率。