數論從這裡開始 乙個數的因數

數論又多又難，該從哪開始學呢？不如先思考一下下面這個問題：

對於乙個自然數n，它的因數是什麼？

一、因數的篩法

1.最簡單的暴力

相信只要你有一點數學和程式設計基礎的話，都會想到下面這個最簡單暴力的方法：

1

int find_factor(intx)2

但是這樣的話有乙個缺點，該演算法的時間複雜度為o(n)，資料稍微一大，就超時了。

2.修改後的篩法

那麼我們能不能稍微改進一下這個演算法呢？答案是可以的，我們都知道乙個數的因數一定是成對出現的，那麼對於每一組裡小的那個因數，它的大小不會超過

,利用這一點我們可以將我們的演算法做如下改進：

1

int find_factor(intx)2
10return
cnt;
11 }

)，可以解決更大範圍的資料了。上面的篩法也是在大多數題目中適用的。

3.加強版篩法

但是還是有更加善良的出題人，想要繼續考察我們，這就需要我們學習專業的數學知識了。我們先來看下面兩個概念：

·分解質因數：把n表示為質數相乘的形式，如30=2×3×5。

我們可以用下面的**實現分解質因數（時間複雜度o(

)）：

1 #include 2

3using
namespace
std;45
void
resolved()619
if(temp!=1) printf("
%d",temp);    //
當n為質數
20return;21
}2223int
main()
24

（還有乙個時間複雜度為o(

)的演算法，日後再補）

既然這些因數都是質數，我們可以把乙個數n的分解質因數表示為：

其中，p1、p2、p3…pk是由小到大的質數，如：36=2×2×3×3=22×32。

·約數個數定理：對於乙個大於1正整數n可以分解質因數：

則n的正約數的個數就是：

其中a1、a2、a3…ak是p1、p2、p3…pk的指數。

感覺不太好理解？我們來看下面幾個例項：

(1)10=2×5=21×51

10的因子：1(20×50),2(21×50),5(20×51),10(21×51)，

因子的個數=4=(1+1)×(1+1)；

(2)36=2×2×3×3=22×32

36的因子：1(20×30),2(21×30),4(22×30),3(20×31),6(21×31),12(22×31),9(20×32),18(21×32),36(22×32)，

因子的個數=9=(2+1)×(2+1)；

看完這幾個例子，不知你感覺如何，接著我們用**來實現這個過程：

1

int find_factor(intx)2
12             p++;
13             cnt*=t;14}
15return
cnt;
16 }

二、約數個數定理的應用

我們來看下面幾個問題：

1.求1到n裡面約數最多的數的約數個數(n<=1018)

這個題注意資料！！！一看到這個資料我們就知道暴力是不可能實現的，那麼又如何使用上面的方法呢？如果用上面的方法進行列舉也是不可取的。

那麼我們來簡單分析下這個問題：

·我們知道每乙個數都可以用質因子的積表示，而約數的個數只與指數有關！

·我們知道pn>...>p3>p2>p1，那麼假設我們存在某乙個ak>a1 那麼我們交換pk與p1的指數，顯然約數個數不變，但是數變小了！

如：24=23×31和54=21×33。

·也就是說對於任何n,m如果pn>pm那麼an

m 要好一些。但是不是最優的，不確定，不過這已經為我們淘汰了許多不必要的情況了。

這樣使用dfs與之結合，列舉每乙個質因子的質數，保證其指數遞減，

然後我們就可以寫出**了：

1 #include 2

3using
namespace
std;45
int prime[25]=;    //
存一下質數
6long
long
n,ans;78
//pos代表第幾個質數，num代表目前因子的個數，multi代表目前的數，len代表迴圈的次數
9void get_num_dfs(int pos,long
long num,long
long multi,int
len)
1020
return;21
}2223int
main()
2434
return0;
35 }

update log : 

2019.5.30：修正了一處錯誤。

乙個數的約數的個數 質因數分解

problem description 乙個數，如果他的素數因子只包括2,3,5,7，則稱這個數為萌數，比如，下面這些數就是前20個萌數 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,24,25,27。現在給你乙個萌數，請程式設計計算它的約數的個數。比如，4是乙...

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