01揹包問題是動態規劃中最基礎的問題之一，它的解法完美地體現了動態規劃的思想和性質。
01揹包問題最常見的問題形式是：給定n件物品的體積和價值，將他們盡可能地放入乙個體積固定的揹包，最大的價值可以是多少。我們可以用費用c和價值v來描述一件物品，再設允許的最大花費為w。只要n稍大，我們就不可能通過搜尋來遍查所有組合的可能。運用動態規劃的思想，我們把原來的問題拆分為子問題，子問題再進一步拆分直至不可再分（初始值），隨後從初始值開始，盡可能地求取每乙個子問題的最優解，最終就能求得原問題的解。由於不同的問題可能有相同的子問題，子問題存在大量重疊，我們需要額外的空間來儲存已經求得的子問題的最優解。這樣，可以大幅度地降低時間複雜度。
有了這樣的思想，我們來看01揹包問題可以怎樣拆分成子問題：
要求解的問題是：在n件物品中最大花費為w能得到的最大價值。顯然，對於0 <= i <= n,0 <= j <= w，在前i件物品中最大花費為j能得到的最大價值。
可以使用陣列dp[n + 1][w + 1]來儲存所有的子問題，dp[i][j]就代表從前i件物品中選出總花費不超過j時的最大價值。
可知dp[0][j]值一定為零。那麼，該怎麼遞推求取所有子問題的解呢。顯而易見，要考慮在前i件物品中拿取，首先要考慮前i - 1件物品中拿取的最優情況。
當我們從第i - 1件物品遞推到第i件時，我們就要考慮這件物品是拿，還是不拿，怎樣收益最大。
①：首先，如果j < c[i]，那第i件物品是無論如何拿不了的，dp[i][j] = dp[i - 1][j];
②：如果可以拿，那就要考慮拿了之後收益是否更大。拿這件物品需要花費c[i]，除去這c[i]的子問題應該是dp[i - 1][j - c[i]]，這時，就要比較dp[i - 1][j]和dp[i - 1][j - c[i]] + v[i]，得出最優方案。
細節和**如下：
intn, w;
int c[maxn], v[maxn];//
c為費用，v為價值
intdp[maxn][maxw];
intmain()
memset(dp,
0, sizeof(dp));//
若不涉及多組輸入，這一步其實可以省略
//如果下標從0開始，下面也需要稍作修改
for(int i = 1;i <= n;i++)
}printf(
"%d\n
", dp[n][w]);
}
這樣做，時間複雜度和空間複雜度都是o(nw)
在上面的解法中，我們把所有子問題的最優解都用陣列儲存了下來，實際上，這些最優解並不是一直都有用的。從狀態轉移方程可以看出，對當前的i，只有i - 1時的最優解才是有用的，再之前的已經不會再被使用了。如果能把已經無用的空間節省出來，空間複雜度能夠得到非常大的優化，這在有些問題中是非常必要的。
實際上，只需要乙個一維的陣列dp[m + 1]（省去n那一維）就可以完成任務。外層的迴圈每一輪開始時，這個陣列裡存的要麼是初始值（i = 0的情況），要麼是上一輪遞推得到的值（i - 1時的情況），符合原本狀態轉移方程的要求。
不過，這樣做就需要更加的注意遞推的方向，更新的順序。在更新前，陣列裡儲存的是上一輪的值（或初始值），更新後，更新了的位置儲存的就是這一輪的值了。在01揹包的問題裡，我們要從i - 1的情況遞推上來，所以要倒著更新。這一點需要著重理解（反了的話就變成完全揹包了）。
**如下：
int c[maxn], v[maxn];//c為費用，v為價值
intdp[maxw];
//其餘部分略
for(int i = 1;i <= n;i++)
}
實踐中很難遇到如此標準的01揹包模型，大多數情況下，我們都需要根據具體問題對上面的演算法做出一定的修改。
這些問題都是揹包問題常見的，解決方法也都相同或者相似：
1.求取的不是價值的最大值而是最小值：把max換成min即可，原理相同。
4.要求恰好裝滿，即選取的物品的費用之和恰等於最大花費：
相比基礎的01揹包，這裡我們需要乙個正常情況不可能出現的值來表示狀態非法、不可能實現，這個值可以是-1、-inf之類的，視具體情況而定。
在初始化時，除dp[i][0]的值應為0之外，其他所有值都應為非法值。在狀態轉移時，首先要判斷子問題是否非法。
for(int i = 1;i <= w;i++)//初始化dp[
0] = 0
;for(int i = 1;i <= n;i++)
}}
動態規劃揹包問題 01揹包
問題描述 n種物品，每種乙個。第i種物品的體積為vi，重量為wi。選一些物品裝到容量為c的揹包，使得揹包內物品不超過c的前提下，重量最大。問題分析 宣告乙個f n c 的陣列。f i j 表示把前i件物品都裝到容量為j的揹包所獲得的最大重量。當 j v i 時，揹包容量不足以放下第 i 件物品，f ...
動態規劃 揹包問題 01揹包
有n種物品和乙個容量為v的揹包，每種物品僅用一次。第i件物品的費用是w i 價值是v i 求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。例如 n 5,v 10 重量 價值 第乙個物品 10 5 第二個物品 1 4 第三個物品 2 3 第四個物品 3 2 第五個物品 4 1 首先我們考慮貪心策略，選取最大價...
0 1揹包問題（動態規劃）
一 問題描述 有n件物品和乙個容量為v的揹包。第i件物品的費用是c i 價值是w i 求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。所謂01揹包，表示每乙個物品只有乙個，要麼裝入，要麼不裝入。二 解決方案 考慮使用動態規劃求解，定義乙個遞迴式 opt i v 表示前i個物品，在揹包容量大小為v的情況下，最...