如何判斷鍊錶是否有環

這個問題可以衍生出很多擴充套件性的問題：

給定乙個單鏈表，

1.如何判斷是否有環

2.如何知道環的長度

3.如何找到環的入口

4.整個鍊錶的長度是多少

相應的解法如下：

問題1時後面所有問題的根問題，解決這個問題一般用到快慢指標，乙個fast指標，乙個slow指標，兩個指標同時指向單鏈表的頭結點，然後fast指標一次移動兩步，slow指標則一次移動一步，如果最終兩個指標相遇，則說明鍊錶有環，否則無環。

1

bool hascycle(listnode *head) 
13else
14return
false;15
if(fast==slow)
16return
true;17
}18return
false
;19     }

假定單鏈表的長度為n，並且該單鏈表是環狀的，那麼第i次迭代時，p指向元素i mod n，q指向2i mod n。因此當i≡2i(mod n)時，p與q相遇。而i≡2i(mod n) => (2i - i) mod n = 0 => i mod n = 0 => 當i=n時，p與q相遇。這裡乙個簡單的理解是，p和q同時在操場跑步，其中q的速度是p的兩倍，當他們兩個同時出發時，p跑一圈到達起點，而q此時也剛 好跑完兩圈到達起點。

那麼當p與q起點不同呢？假定第i次迭代時p指向元素i mod n，q指向k+2i mod n，其中0(i+k) mod n = 0 => 當i=n-k時，p與q相遇。

這裡的關鍵是理解，其實，快指標和慢指標雖然一開始不在環裡，但是當他們都進入環裡的時候，其實這個問題的模型相當於兩個指標在環裡起點不同的模型。

懂了這點，後續很多證明都好理解了。

擴充套件閱讀：

推廣：1. 如果兩個指標的速度不一樣，比如p，q，( 0

sp(i) = pi

sq(i) = k + qi

如果兩個要相交於乙個節點，則 sp(i) = sq(i) =>  (pi) mod n = ( k+ qi ) mod n =>[ (q -p)i + k ]  mod n =0

=>  (q-p)i + k  = nn [n 為自然數]

=>  i = (nn -k) /(p-q)

i取自然數，則當 p，q滿足上面等式 即 存在乙個自然數n，可以滿足nn -k 是 p - q 的倍數時，保證兩者相交。

特例：如果q 是p 的步長的兩倍，都從同乙個起點開始，即 q = 2p , k =0, 那麼等式變為： nn=i： 即可以理解為，當第i次迭代時，i是圈的整數倍時，兩者都可以交，交點就是為起點。

2.如何判斷單鏈表的環的長度？

這個比較簡單，知道q 已經進入到環裡，儲存該位置。然後由該位置遍歷，當再次碰到該q 位置即可，所迭代的次數就是環的長度。

3. 如何找到鍊錶中第乙個在環裡的節點？

假設鍊錶長度是l，前半部分長度為k-1，那麼第乙個再環裡的節點是k，環的長度是 n， 那麼當q=2p時， 什麼時候第一次相交呢？當q指標走到第k個節點時，q指標已經在環的第 k mod n 的位置。即p和q 相差k個元素，從不同的起點開始，則相交的位置為 n-k, 則有了下面的圖：

從圖上可以明顯看到，當p從交點的位置（n-k) ,向前遍歷k個節點就到到達環的第乙個幾點，節點k.

演算法就很簡單： 乙個指標從p和q 中的第一次相交的位置起（n-k)，另外乙個指標從煉表頭開始遍歷，其交點就是鍊錶中第乙個在環裡的交點。

下面是另外一種證明方法：

假設p和q分別以速度為v1和v2前進。如果有環，設指標p和q第一次進入環時，他們相對於環中第乙個節點的偏移位址分別為a和b（可以把偏移位址理解為節點個數）。如上圖。

這樣，可以看出，鍊錶有環的充要條件就是某一次迴圈時，指標p和q的值相等，就是它們相對環中首節點的偏移量相等。

我們設環中的結點個數為n,程式迴圈了m次。

由此可以有下面等式成立：(mod(n)即對n取餘)

(a+m*v1)mod(n) = (b+m*v2) mod(n)

設等式左邊mod(n)的最大整數為k1，等式右邊mod(n)的最大整數為k2，則

(a+m*v1)-k1*n = (b+m*v2)-k2*n

m= |((k2-k1)*n+a-b)/( v2-v1)|       ①

如果是等式①成立，就要使迴圈次數m為一整數。顯然如果v2-v1為1，則等式成立。

這樣p和q分別以速度為v1和v2且|v2-v1|為1時，按以上演算法就可找出鍊錶中是否有環。

2、對於問題2，記錄下問題1的碰撞點p，slow、fast從該點開始，再次碰撞所走過的運算元就是環的長度s。

3、問題3：有定理：碰撞點p到連線點的距離=頭指標到連線點的距離，因此，分別從碰撞點、頭指標開始走，相遇的那個點就是連線點。

4、問題3中已經求出連線點距離頭指標的長度，加上問題2中求出的環的長度，二者之和就是帶環單鏈表的長度

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