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兩人輪流操作兩堆初始數量分別為\(a,b(a,b\leq2^)\)的石子。每人每次進行如下操作：
先找一波規律。將當前的人必勝的狀態稱為\(n\)-position，必敗的狀態稱為\(p\)-position，則：
\(p \ 1 - p(0,1)\)
\(n \ 2 - n(1,1)\)
\(n \ 3 - n(1,2)\)
\(p \ 4 - n(1,3),p(2,2)\)
\(p \ 5 - n(1,4),p(2,3)\)
\(...\)
前面的數字\(x\)表示得到了乙個兩堆和為\(x\)的狀態時，是必勝還是必敗。如果\(x\)至少有一種分拆是\(p\)，那麼\(x\)就是\(p\)。因為只要存在\(p\)，對手就可以將這個\(p\)-position給你從而獲勝。那麼在乙個狀態中，如果兩堆石子存在\(p\)那麼該狀態是\(n\)，否則該狀態是\(p\)。
找到的規律就是\(n\)-position和\(p\)-position是\(pnnpp\)五個一迴圈的。下面來證明一下。
依然是數學歸納法。所以只要\(a,b\)中有乙個模5餘1,4,5就是先手必勝，否則後手必勝。若對於正整數\(k\)，\(\forall x \in [1,5k]\)結論成立。則
\(x,y\equiv0(mod\ 5),x+y=5k\)
\(p \ 5k+1 - n(x,y+1),n(x+2,y-1),p(x+3,y-2)\)
\(n \ 5k+2 - n(x,y+2),n(x+1,y+1),n(x+3,y-1)\)
\(n \ 5k+3 - n(x,y+3),n(x+1,y+2),n(x+4,y-1)\)
\(p \ 5k+4 - n(x,y+4),n(x+1,y+3),p(x+2,y+2)\)
\(p \ 5k+5 - n(x,y),n(x+1,y+4),p(x+2,y+3)\)
所以對於正整數\(k+1\)，\(\forall x \in [1,5(k+1)]\)結論仍成立。
而\(k=1\)時結論成立（見上方），所以\(\forall x\in\mathbb^*\)，結論成立。
不想寫了
hzwer的博弈論第一題就讓我推了這麼半天orz
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