一直以來都不理解向量無窮範數如何從p範數得來，最近正看到極限，藉此推導一遍。
1- p-範數
若 $x=\left[x_, x_, \cdots, x_\right]^$，那麼 $$\| x\|_=(|x_|^+|x_|^+\cdots+|x_|^)^}$$
當 $p$ 取 $1, 2, \infty$ 時， 分別得到：
$1$-範數： $\|x\|_=|x_|+|x_|+\cdots+|x_|$
$2$-範數： $\|x\|_=(|x_|^+|x_|^+\cdots+|x_|^)^}$
$\infty$-範數： $\|x\|_=\max(|x_|, |x_|, \cdots, |x_|)$
2- $\infty$-範數的推導
證明：
由定義$\| x\|_=(|x_|^+|x_|^+\cdots+|x_|^)^}$，記 $x_=\max(|x_|, |x_|, \cdots, |x_|)$
\[\begin\lim\limits_\|x\|_&=&\lim\limits_x_\cdot\big(\big(\frac\|}}\big)^+\big(\frac\|}}\big)^+\cdots+\big(\frac\|}}\big)^\big)^}\nonumber\\&=&x_\cdot\lim\limits_\big(\big(\frac\|}}\big)^+\big(\frac\|}}\big)^+\cdots+\big(\frac\|}}\big)^\big)^}\nonumber\end\]
因 $1\leq\sum\limits_\big(\frac\|}}\big)^\leq n$，故由 $\lim\limits_n^}=1$ 及 夾逼原理，有$$\lim\limits_\big(\big(\frac\|}}\big)^+\big(\frac\|}}\big)^+\cdots+\big(\frac\|}}\big)^\big)^}=1$$
從而 $\lim\limits_\|x\|_=x_$.
什麼是矩陣的範數
在介紹主題之前，先來談乙個非常重要的數學思維方法 幾何方法。在大學之前，我們學習過一次函式 二次函式 三角函式 指數函式 對數函式等，方程則是求函式的零點 到了大學，我們學微積分 復變函式 實變函式 泛函等。我們一直都在學習和研究各種函式及其性質，函式是數學一條重要線索，另一條重要線索 幾何，在函式...
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