2017北大優秀中學生夏令營
已知$\omega $是整係數方程$x^2+ax+b=0$的乙個無理數根,
求證:存在常數$c$,使得對任意互質的正整數$p,q$都有$$|\omega-\dfrac|\ge \dfrac$$
分析:這題涉及的背景知識是數論裡的最佳有理逼近和liouville超越數定理.
一般的$\omega $是整係數方程$f(x)=a_nx^n+a_x^+\cdots+a_0=0$的乙個根,
則顯然存在$c=c(\omega)=\max\,n*\max\limits_|ka_k^|\}$,
當$\omega-1\dfrac$
若$\dfrac\notin[\omega-1,\omega+1]$時
$|\omega-\dfrac|>1\ge\dfrac$
注:liouville 定理:任意$n$次實代數數不能有$n$次以上的有理漸進分數.
即:若是乙個$n$次代數數,則對任意$\epsilon>0,a>0$,不等式
$$|\omega-\dfrac|
注:若$\omega$為無理數.則有無窮個整數解$(p,q)$使得$|\omega-\dfrac|
注:(hruwitz)若$\omega$為無理數.則有無窮個整數解$(p,q)$使得$|\omega-\dfrac|
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