筆記 線段樹分治

目錄寫在最後

某培訓機構某天的考試題出現了板子= =

於是簡單寫下。

有這樣的一種模型：

給定一些僅在給定時間範圍內有效的操作。

詢問某個時間點所有操作的貢獻。

考慮離線操作，對時間軸建立線段樹，將每個操作轉化為線段樹上的區間標記操作。

查詢時遍歷整棵線段樹，到達每個節點時執行相應的操作，到達葉節點統計貢獻，回溯時撤銷操作的影響

原題面：luogu

darkbzoj

給定 \(n\) 個節點，有 \(m\) 條出現一段時間後後消失的邊，第 \(i\) 條邊 \((x_i,y_i)\) 的存在時間為 \([l_i,r_i]\)。

給定引數 \(k\)，判斷 \(1\sim k\) 內每個時刻時，整個圖是不是二分圖。

\(n,k = 10^5\)，\(m=2\times 10^5\)，\(1\le u_i,v_i\le n\)，\(0\le l\le r\le k\)。

判斷二分圖，想到這個題：p1525 關押罪犯

考慮使用擴充套件域並查集進行維護。

具體地，將點 \(i\) 拆成點 \(i\) 和 \(i+n\)，分別表示在同一獨立集，與不在同一獨立集。

對於一條邊 \((x_i,y_i)\)，將 \(x_i\) 與 \(y_i+n\) 合併，\(x_i+n\) 與 \(y_i\) 合併。

在加入一條邊 \((x_i,y_i)\) 之前，若發現 \(x_i,y_i\) 在同一並查集中，則加入該邊後相當於出現乙個奇環，破壞了二分圖的結構，之後再加任意數量的邊都不為二分圖。

再考慮消失的限制，並找不到什麼可簡單維護的方式。

考慮線段樹分治，對時間軸建立線段樹。

維護區間內存在的邊集，用 vector 進行維護。

查詢時從根節點出發開始遍歷，遞迴處理時將當前節點存在的邊進行合併，判斷是否為二分圖。

若到達某個點是不為二分圖，則該點維護的時間區間內原圖均不為二分圖。

到達葉節點時，若仍為二分圖，輸出 yes。

回溯時，發現並查集並不支援刪除操作。

考慮使用乙個棧記錄下對並查集的操作，將父子關係再改回去。

則不可使用路徑壓縮，否則操作次數**，為保證複雜度，應進行按秩合併。

注意擴充套件域並查集對空間的需求。

總複雜度 \(o(m\log n\log k)\)。

**：p5787 二分圖 /【模板】線段樹分治。

給定 \(n\) 個節點，初始時圖中沒有邊。有 \(m\) 次操作：

加入一條不存在的邊。

刪除一條存在的邊。

查詢給定點對是否連通。

\(1\le n\le 5000\)，\(1\le m\le 5\times 10^5\)。

大致思路同上，使用可撤銷並查集維護連通性即可。

深入到葉節點時回答對應時刻的詢問。

複雜度 \(o(m\log m\log n)\)。

**：loj 121. 「離線可過」動態圖連通性。

參考：題解 p5787 【二分圖 _【模板】線段樹分治】 - xht37 的洛谷部落格

學習筆記 線段樹分治

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