量子搜尋演算法 Grover search

problem：

$f: \ \rightarrow \$

找到 $f(x)=1$ 的x

經典解法：

經典解法很簡單，就是把每乙個都看一遍，如果只有乙個x對應的f(x)=1，那麼平均是要看一半，才能找到那個x。

時間複雜度o(n)

量子解法：

使用grover search 演算法，時間複雜度在 $o(\sqrt n)$

grover search 演算法一共分為兩步：

phase inversion

inversion about the mean

然後不斷的迭代這兩步我們就能夠得到結果了。

首先我們先看看這兩個步驟分別在做什麼：

我們把 $f(x)=1 $ 的 $|x\rangle$ 稱為 $x^*$ ，我們要找的也就是這個 $x^*$ 。

phase inversion:

這一步主要是把 $x^*$ 的概率幅翻轉，變成負數，而其他的保持不變。

即，把 $\sum_ \alpha_x|x\rangle$ 變成 $\sum_ \alpha_x|x\rangle -\alpha_|x^*\rangle$

inversion about the mean

這一步呢，就是把 $\alpha_x$ 變成 $2\mu- \alpha_x$

$\mu$ 是所有概率幅的平均值，$\mu= \frac$

用圖可能更好表達這兩個步驟究竟在做什麼：

圖1到圖2，就是phase inversion，把$x^*$的概率幅翻轉到了下面，圖2中的虛線就是我的概率幅的平均值，圖2到圖3 就是我們的inversion about the mean，對著平均值翻轉一次，其餘x的概率幅是高於平均值的，所以 $2\mu- \alpha_x$ 讓他們變小了，而我們的 $x^*$ 他的概率幅是個負數，所以 $2\mu- \alpha_x$ 後他增加了。

不斷的重複這個步驟， $x^*$ 他的概率幅會越來越大，最後我們測量的時候就會很容的找到他。

進行了 $\sqrt n$ 後，他的概率幅就會達到 $\frac$ ，算概率就是1/2。

那麼接下來的問題就是，這些操作是怎麼實現的？

這個步驟要做的事情就是，

把 $\sum_ \alpha_x|x\rangle$ 變成 $\sum_ \alpha_x|x\rangle -\alpha_|x^*\rangle$

符號是和f(x)是否為1相關的，進一步化簡就是 $\sum_x (-1)^ \alpha_x|x\rangle$

有沒有一絲熟悉感？

把f(x)的結果給放到相位上去，這是我們在parity problem中就遇到的問題。

當時的解決方法是把答案位元變成 $|-\rangle$。

一般情況，如果我們打算放置答案的位元是 $|b\rangle$，那麼輸入的位元就是$|b \oplus f(x)\rangle$

最後乙個位元的值如果在$|+\rangle |-\rangle$座標下測量，一定是 $|-\rangle$，f(x)的差別也變到了符號上，即 $(-1)^$

把 $\alpha_x$ 變成 $2\mu- \alpha_x$ ，這個就要比前乙個麻煩了

這其實是要求我把現在的態對著 $\mu$ 翻轉。

對著 $\mu$ 翻轉會嗎？

不太會。

但是我會對著 $|0\rangle$ 的翻轉啊。

對角線第乙個值為1，其餘為-1，非對角線的都為0。

$\left[ \begin{} 1 & 0 & …& 0 \\ 0 & -1 & …& 0 \\…\\0 & 0 & …& -1 \end\right]\left[ \begin{} a_0\\a_1\\…\\a_ \end\right]=\left[ \begin{} a_0\\-a_1\\…\\-a_ \end\right]$

這個矩陣輕而易舉的可以讓 $|0\rangle$ 保持不變，非 $|0\rangle$ 的符號全都翻轉。

量子變換要求矩陣式酉矩陣，這個矩陣很明顯滿足 $uu^\dagger=u^\dagger u=i$

接下來怎麼做呢？

$|\mu\rangle$ 是乙個怎樣的態？

所有的x的概率都一樣，也就是我們的superposition $\frac}} \sum_^n}|x\rangle$

$\frac}} \sum_^n}|x\rangle$ 和 $|0\rangle$之間的相互轉換，這就是我們最最熟悉的hadamard transform了

第二部分的電路圖如下：

這個矩陣是可以直接計算的：

我這裡直接給出答案，得到的矩陣值呢是下圖左邊的這個矩陣：

在對應的 $\alpha_x$的結果恰好是 $\frac \sum _^ \alpha_y -\alpha_x$

而 $\frac \sum _^ \alpha_y$ 恰好就是 $2\mu$

至此，呈上最完整的電路圖模組：

第乙個h門是資料的初始化，第二個門是為了翻轉 $x^*$，第三四五個門是為了對 $| \mu \rangle$ 翻轉，二三四五這四個門就是要給重複的模組了，不斷的重複他們就可以不斷的提高 $x^*$的概率幅，最終找到 $x^*$。

量子搜尋演算法 Grover search

A 搜尋演算法

A 搜尋演算法

搜尋演算法小結

量子搜尋演算法 Grover search

A 搜尋演算法

A 搜尋演算法

搜尋演算法小結

相關推薦