在乙個2^k * 2^k個方格組成的棋盤中,若有乙個方格與其他方格不同,則稱該方格為一特殊方格,且稱該棋盤為乙個特殊棋盤。
顯然特殊方格在棋盤上出現的位置有4^k種情形.因而對任何k≥0,有4^k種不同的特殊棋盤。
下圖所示的特殊棋盤為 k=2 時 16 個特殊棋盤中的乙個。
在棋盤覆蓋問題中，要用下圖中 4 中不同形態的 l 型骨牌覆蓋乙個給定的特殊棋牌上除特殊方格以外的所有方格，且任何 2 個 l 型骨牌不得重疊覆蓋。
易知，在任何乙個 2^k * 2^k 的棋盤中，用到的 l 型骨牌個數恰為 (4^k-1)/3 。
求解棋盤問題，可利用分治的策略。當 k>0 時，將 2^k * 2^k 棋盤分割為 4 個 2^(k-1) * 2^(k-1) 子棋盤，如下圖所示。
特殊方格必位於 4 個子棋盤之一，其餘 3 個子棋盤中無特殊方格。用乙個 l 型骨牌覆蓋這 3 個較小的棋盤的匯合處，如圖所示，將這 3 個無特殊方格的子棋盤轉化為特殊棋盤，從而將原問題化為 4 個較小規模的棋盤覆蓋問題。遞迴的使用 這種分割，直至棋盤簡化為 1x1 棋盤。
python實現**如下：
1#coding =gbk23
4#tr左上角行號，tc左上角列號。dr特殊方格行號，dc特殊方格列號
5def
chessboard(board, size, tr, tc, dr, dc):
6if size <= 1:
7return
8global
tile
9 tile += 1
10 current_tile =tile
11 size //= 2
12if dr < tr + size and dc < tc +size:
13chessboard(board, size, tr, tc, dr, dc)
14else
:15 board[tr + size - 1][tc + size - 1] =current_tile
16 chessboard(board, size, tr, tc, tr + size - 1, tc + size - 1)
17if dr >= tr + size and dc < tc +size:
18 chessboard(board, size, tr +size, tc, dr, dc)
19else
:20 board[tr + size][tc + size - 1] =current_tile
21 chessboard(board, size, tr +size, tc,
22 tr + size, tc + size - 1)
23if dr < tr + size and dc >= tc +size:
24 chessboard(board, size, tr, tc +size, dr, dc)
25else
:26 board[tr + size - 1][tc + size] =current_tile
27 chessboard(board, size, tr, tc +size,
28 tr + size - 1, tc +size)
29if dr >= tr + size and dc >= tc +size:
30 chessboard(board, size, tr + size, tc +size, dr, dc)
31else
:32 board[tr + size][tc + size] =current_tile
33 chessboard(board, size, tr + size, tc +size,
34 tr + size, tc +size)
3536
37 tile =0
38 chessboard_size = 4
39 board = [[0 for x in range(chessboard_size)] for y in
range(chessboard_size)]
40 chessboard(board, chessboard_size, 0, 0, 1, 0)
4142 board = [[row[i] for row in board] for i in
range(len(board[0]))]
43for lst in
board:
44print(lst)
棋盤覆蓋問題（遞迴與分治）
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