信封巢狀問題

354.俄羅斯套娃信封問題

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很多演算法問題都需要排序技巧，其難點不在於排序本身，而是需要巧妙地排序進行預處理，將演算法問題進行轉換，為之後的操作打下基礎。

信封巢狀問題就需要先按特定的規則排序，之後就轉換為乙個最長遞增子串行問題的技巧來解決了。

信封巢狀問題是個很有意思且經常出現在生活中的問題，先看下題目：

這道題目其實是最長遞增子串行（longes increasing subsequence，簡寫為 lis）的乙個變種，因為很顯然，每次合法的巢狀是大的套小的，相當於找乙個最長遞增的子串行，其長度就是最多能巢狀的信封個數。

但是難點在於，標準的 lis 演算法只能在陣列中尋找最長子序列，而我們的信封是由(w, h)這樣的二維數對形式表示的，如何把 lis 演算法運用過來呢？

讀者也許會想，通過w × h計算面積，然後對面積進行標準的 lis 演算法。但是稍加思考就會發現這樣不行，比如1 × 10大於3 × 3，但是顯然這樣的兩個信封是無法互相巢狀的。

ps：我認真寫了 100 多篇原創，手把手刷 200 道力扣題目，全部發布在 labuladong的演算法小抄，持續更新。建議收藏，按照我的文章順序刷題，掌握各種演算法套路後投再入題海就如魚得水了。

這道題的解法是比較巧妙的：

先對寬度w進行公升序排序，如果遇到w相同的情況，則按照高度h降序排序。之後把所有的h作為乙個陣列，在這個陣列上計算 lis 的長度就是答案。

畫個圖理解一下，先對這些數對進行排序：

然後在h上尋找最長遞增子串行：

這個子串行就是最優的巢狀方案。

這個解法的關鍵在於，對於寬度w相同的數對，要對其高度h進行降序排序。因為兩個寬度相同的信封不能相互包含的，逆序排序保證在w相同的數對中最多隻選取乙個。

下面看**：

// envelopes = [[w, h], [w, h]...]
public int maxenvelopes(int envelopes) 
});// 對高度陣列尋找 lis
int height = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++)
height[i] = envelopes[i][1];
return lengthoflis(height);
}

/* 返回 nums 中 lis 的長度 */
public int lengthoflis(int nums) 
if (left == piles) piles++;
// 把這張牌放到牌堆頂
top[left] = poker;
}// 牌堆數就是 lis 長度
return piles;
}

為了清晰，我將**分為了兩個函式，你也可以合併，這樣可以節省下height陣列的空間。

此演算法的時間複雜度為o(nlogn)，因為排序和計算 lis 各需要o(nlogn)的時間。

空間複雜度為o(n)，因為計算 lis 的函式中需要乙個top陣列。

這個問題是個 hard 級別的題目，難就難在排序，正確地排序後此問題就被轉化成了乙個標準的 lis 問題，容易解決一些。

其實這種問題還可以拓展到三維，比如說現在不是讓你巢狀信封，而是巢狀箱子，每個箱子有長寬高三個維度，請你算算最多能巢狀幾個箱子？

我們可能會這樣想，先把前兩個維度（長和寬）按信封巢狀的思路求乙個巢狀序列，最後在這個序列的第三個維度（高度）找一下 lis，應該能算出答案。

實際上，這個思路是錯誤的。這類問題叫做「偏序問題」，上公升到三維會使難度巨幅提公升，需要借助一種高階資料結構「樹狀陣列」，有興趣的讀者可以自行搜尋。

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信封巢狀問題

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