在概率論中，特徵函式的益處體現在：
任意分布與它的特徵函式一一對應；
兩個獨立隨機變數之和的特徵函式就是它們二者特徵函式的積；
特徵函式在零點附近收斂 == 分布函式弱收斂(levi continuous theroem)，要處理多個獨立隨機變數之和的分布，可以採取以下方式：
如果隨機變數各階矩都存在，特徵函式在0處求k階導數可得到：
因此，特徵函式是隨機變數的分布的不同表示形式。
對於隨機變數x的分布，用概率密度函式來描述：
對應的概率密度函式如下：
概率密度函式可以直觀描述隨機變數 x 的分布，特徵函式也可以從另乙個角度描述這個分布。
特徵（乙個女博士為例）
以上特徵如果都一樣，那麼：
所有特徵都相等 ==> 上述兩幅影象是同乙個人
根據泰勒級數可知，兩個函式f(x), g(x)的各階導數相等的越多，那麼這兩個函式越相似：
各階倒數都相等 ==> f(x) = g(x)
隨機變數分布的特徵
期望：方差：
偏態：
可見特徵都可由各階矩計算得出，直覺上可以有以下推論（其實還是有條件的，這裡先忽略這些嚴格性，在實際應用中如下思考問題不大）：
各階矩相等 ==> 各特徵相等 ==> 分布相同
特徵函式
隨機變數x的特徵函式定義為：
泰勒級數展開：
因此，可得：
原來特徵函式包含了分布函式的所有矩，也就是包含了分布函式的所有特徵。
所以，特徵函式其實是隨機變數x的分布的另外一種描述方式。
特徵函式是共軛傅利葉變換
可見兩者是共軛的關係：
也就是說，特徵函式是f(x)的共軛傅利葉變化，以下將特徵函式當作傅利葉變換來理解。
特徵函式相當於換了乙個座標系
直角座標系下，圓的方程為：
在極座標系下，同樣的圓的方程為：
同乙個數學物件，在不同座標系中，有不同的表達形式：
傅利葉變換和直角座標、極座標的情況類似，相當於換了座標系。
矩形波在時域「座標系」中的形狀：
代數形式如下：
在頻域「座標系」中的影象如下：
代數形式如下：
也是同乙個數學物件，在不同「座標系」中，有不同的表達方式：
所以，特徵函式是把分布函式換了乙個座標系，因此是分布函式的另外一種表現形式：
特徵函式的好處：
正如把直角座標系換到極座標系，可以獲得計算上的便利。
特徵函式把分布函式換到另外乙個座標系，也可以獲得一些計算的好處：
（1）假如不知道分布函式，但是通過實驗計算出了期望、方差、偏度、峰度等特徵，那麼可以用特徵函式去代替分布函式；
（2）兩個分布函式的卷積：
通過特徵函式更換座標系後，可以變為更容易計算的乘法：
通過對 t 求導，可以簡單求出各階矩：
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