題面傳送門
我竟然獨立搞出了這道黑題！incredible！
u1s1 這題是我做題時間跨度最大的題之一……
首先講下我四個月前想出來的 \(n^2\log n\) 的做法吧。
記 \(f(a)=\max\limits_^q\min\limits_^a_j=x\)
首先期望轉概率，設 \(p_i\) 表示 \(f(a)=x\) 的概率，答案即為 \(\sum p_i\times i\)。
注意到這題直接求 \(f(a)=x\) 的概率不是特別容易，故考慮換個思路，求出 \(f(a)\geq x\) 的概率 \(t_x\) 然後求個差分即可。是我們的任務轉化為求 \(t_x\) 的值。
記序列中 \(的數為 \(0\)，\(\ge x\) 的數為 \(1\)，那麼原題等價於這樣乙個問題，有乙個長度為 \(n\) 的隨機 \(01\) 序列，每一位生成 \(0\) 的概率為 \(p_0=\dfrac\)，生成 \(1\) 的概率為 \(p_1=\dfrac\)，給定 \(q\) 個區間 \([l_i,r_i]\)，問有多大概率滿足這 \(q\) 個區間中至少存在乙個區間中全是 \(1\)。
這個問題可以用 \(dp\) 求解，設 \(dp_\) 表示當前填好了前 \(i\) 位，上乙個 \(0\) 的位置為 \(j\)，並且到現在為止不存在全為 \(1\) 的區間的概率。
考慮轉移，記 \(mx_r\) 表示 \(\max\limits_^ql_i(r_i=r)\)，分三種情況轉移：
**：
#include using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define fz(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ffe(it,v) for(__typeof(v.begin()) it=v.begin();it!=v.end();it++)
#define fill0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define fill1(a) memset(a,-1,sizeof(a))
#define fillbig(a) memset(a,63,sizeof(a))
#define pb push_back
#define ppb pop_back
#define mp make_pair
typedef pairpii;
typedef long long ll;
const int maxn=2e3+5;
const int mod=666623333;
int n,m,q,l[maxn+5],r[maxn+5],inv,p[maxn+5],ans[maxn+5];
int qpow(int x,int e)
int add(int x,int y)
struct node s[maxn*4+5];
void build(int k,int l,int r)
void pushdown(int k)
if(s[k].lz^1)
}void modify(int k,int l,int r,int x) pushdown(k);int mid=(s[k].l+s[k].r)>>1;
if(r<=mid) modify(k<<1,l,r,x);
else if(l>mid) modify(k<<1|1,l,r,x);
else modify(k<<1,l,mid,x),modify(k<<1|1,mid+1,r,x);
s[k].val=add(s[k<<1].val,s[k<<1|1].val);
}void update(int k,int ind,int x)
pushdown(k);int mid=(s[k].l+s[k].r)>>1;
if(ind<=mid) update(k<<1,ind,x);
else update(k<<1|1,ind,x);
s[k].val=add(s[k<<1].val,s[k<<1|1].val);
}int query(int k,int l,int r)
void solve(int x)
}int main()
/*4 3 2
1 32 4
*/
…………tle 70？
當時還以為是自己常數寫大了，花了九牛二虎之力卡常卻無果，xtbz
於是這道題就光榮地在我【嘗試過的題】中躺了四個月。
這週三的時候又重新翻到了這個題，順帶著把 \(n^2\) 的演算法想出來了。
於是現在我才知道當時平方對數的演算法過不了是出題人故意卡的
注意到在之前平方對數的演算法中，我們對 \(t_x\) 的定義為 \(f(a)\geq x\) 的概率，如果換成 \(f(a)\le x\) 的概率會有什麼區別呢？
這次，我們記序列中 \(\le x\) 的數為 \(1\)，\(>x\) 的數為 \(0\)，那麼求解 \(f(a)\le x\) 的部分等價於如下的問題：有乙個長度為 \(n\) 的隨機 \(01\) 序列，每一位生成 \(0\) 的概率為 \(p_0=1-\dfrac\)，生成 \(1\) 的概率為 \(p_1=\dfrac\)，給定 \(q\) 個區間 \([l_i,r_i]\)，問有多大概率滿足這 \(q\) 個區間中每乙個區間中都存在至少乙個 \(1\)
還是考慮 \(dp\)，記 \(dp_i\) 為當前考慮到第 \(i\) 位，且第 \(i\) 位是 \(1\) 的概率。
考慮轉移，我們列舉上乙個 \(1\) 的位置 \(j\)，就有 \(dp_i=\sum\limits_^dp_j\times p_0^\times p_1\)。
但事實上這個轉移方程是錯誤的，因為並不是所有的 \(j\) 都可以轉移，比方說 \(i=4,j=1,l_1=2,r_1=3\)，那麼 \([l_1,r_1]\) 中所有數都是 \(0\)，不符合要求。
那麼問題就來了，究竟什麼樣的 \(j\) 才能轉移到 \(i\) 呢？
顯然 \(j\) 可以轉移到 \(i\) 當且僅當不存在 \(i\in[1,q]\) 使得 \([l_i,r_i]\subseteq(j,i)\)，並且我們還可以發現一件事，那就是如果 \(j\) 可以轉移到 \(i\)，並且 \(j，那麼 \(j+1\) 也一定可以，故合法的決策點是乙個右端點為 \(i-1\) 的區間，記 \(i\) 對應決策點區間的左端點為 \(l_i\)，那麼上述方程式可改寫為 \(dp_i=\sum\limits_^dp_j\times p_0^\times p_1\)。
那麼怎麼求出 \(l_i\) 呢？記 \(mx_r\) 表示 \(\max\limits_^ql_i(r_i=r)\)。那麼我們只需檢驗是否存在某個 \(k\in(j,i)\) 使得 \(mx_k>j\) 即可，我們還可以注意到 \(l_i>l_\)，也就是 \(l_i\) 單調遞增。故可用 two pointers+st 表在 \(n\log n\) 預處理、\(\mathcal o(n)\) 求解的時間內求出 \(l_i\)，具體來說，st 表維護 \(\max\limits_^rmx_i\)，然後檢驗 \(\max\limits_^mx_k>j\) 即可。
求出 \(l_i\) 之後轉移就變得異常容易了。我們可將轉移方程式進一步改寫為 \(dp_i=\sum\limits_^\dfrac\times p_0^\times p_1\)，注意到前面 \(\dfrac\) 只與 \(j\) 有關，後面 \(p_0^\times p_1\) 只與 \(i\) 有關，故可以維護 \(\dfrac\) 的字首和，這樣即可實現 \(\mathcal o(1)\) 轉移。
時間複雜度 \(n^2\)。
終於把自爆的心頭之恨化解掉了，爽
#include using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define fill0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define fill1(a) memset(a,-1,sizeof(a))
#define fillbig(a) memset(a,63,sizeof(a))
#define pb push_back
#define ppb pop_back
#define mp make_pair
templatevoid chkmin(t1 &x,t2 y)
templatevoid chkmax(t1 &x,t2 y)
inline void putc(char x)
templatevoid read(t &x)
templatevoid recursive_print(t x)
templatevoid print(t x)
void print_final()
}const int maxn=2e3;
const int log_n=11;
const int mod=666623333;
int n,m,q,inv,mx[maxn+5],st[maxn+5][log_n+2],pre[maxn+5];
int pw[maxn+5],ipw[maxn+5],dp[maxn+5],sum[maxn+5],ans[maxn+5];
int qpow(int x,int e)
int query_mx(int l,int r) int res=0;
for(int i=1;ifor(int i=1;i<=m;i++) res=(res+1ll*(ans[i]-ans[i-1]+mod)*i)%mod;
printf("%d\n",res);
return 0;
}
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給定n個 1 x 的隨機整數 a 1,a 2,a 3,a n 和q個詢問區間 l i,r i 求出 max 的期望 對於10 的資料，n,x,q 6 對於另外20 的資料，q 1 對於50 的資料，n,x,q 300 對於100 的資料，1 n,x,q 2000 對於每個i，1 li ri n 又是...
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