題目鏈結（洛谷 p2765）
假設有\(n\)根柱子，現要按下述規則在這\(n\)根柱子中依次放入編號為\(1, 2, 3, \cdots\)的球：
試設計乙個演算法，計算出在\(n\)根柱子上最多能放多少個球。例如，在\(4\)根柱子上最多可放\(11\)個球。對於給定的\(n\)，計算在\(n\)根柱子上最多能放多少個球。
對於這道題，我很自然地想到了乙個貪心策略。首先，很容易發現，這道題柱子的編號其實根本不重要。那麼，我們規定，相同條件下放球時，優先放入編號小的柱子。
當我們放入第\(k\)個球時，我們採用如下貪心策略：
若乙個球既可以放入某個有球的柱子，也可以放入某個無球的柱子，那麼，放入有球的柱子一定更優。因為將\(k\)放入有球的柱子，會出現乙個頂端為\(k\)的柱子和乙個空柱子（就是沒放進去的那個），而放入空柱子則會出現乙個頂端為\(k\)的柱子和乙個能與\(k\)匹配的柱子，顯然前者比後者更優。
不會出現乙個數放入兩個已經有球的柱子的情況。因為投入球的順序一定是從\(1\)到\(n\)逐個遞增的，按照上述投入球的規則，最大的若干個球一定都在各個最外側，而且它們的數一定是連續的。（可以按照上述規則手推一下\(n = 4\)的情況）
其實個人感覺歸為網路流不是很合適，因為把本題抽象成圖的做法，本質上是做二分圖匹配。關於圖的點數的通項，並不是我自己想出來的，也無法給出詳細的證明，所以建議優先參考貪心做法。
給出結論：若一共有\(n\)個柱子，則總共能放入\(\left\lfloor \dfrac \right\rfloor\)個球。
然後，我們很容易想到，我們盡可能把臨近的能組成完全平方數的數穿起來，比如\(1 \rightarrow 3 \rightarrow 6\)，那麼，乙個這樣的串上的數就能都放到乙個柱子上。同時，我們希望這樣的串盡可能少。
有沒有覺得很熟悉？希望串盡可能少，剩下的部分就和第三題最小路徑覆蓋問題一樣了。
然後，我們能推算出一共有多少球，這樣，我們就能構圖了，剩下的就同第三題——最小路徑覆蓋問題一樣了。
/**
* luogu p2765
* 貪心
**/#include #include #include #include #include using namespace std;
const int maxn = 10000;
vectors[maxn];
int n, ans, d;
int check(const int &x)
return 0;
}int main()
printf("%d\n", ans);
for (int i = 1; i <= n; i++)
return 0;
}
/**
* luogu p2765
* 網路流
**/#include #include #include #include using namespace std;
const int maxn = 5000;
const int maxm = 1e5 + 5;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int s = 0;
const int t = maxn - 1;
struct edge e[maxm];
int numedge, head[maxn], n, pre[maxn], nxt[maxn], depth[maxn];
bool ispfs[maxn];
inline void addedge(int from, int to, int val)
inline bool bfs() }}
return depth[t] != 0;
}inline int dfs(int u, int flow)
e[i].val -= di;
e[i ^ 1].val += di;
return di;}}
}return 0;
}int dinic()
}return res;
}int main() }}
for (int i = 1; i <= n; i++)
dinic();
printf("%d\n", n);
for (int i = 1; i <= n; i++)
}return 0;
}
網路流 24 題 4 魔術球
題意 有n根柱子可以放球，球上的權值從1向後標。要求這n根柱子滿足 任意一根柱子上相鄰兩個球的和是乙個完全平方數 小的球在下面，大的球在上面 輸出最多放多少個球，和其中的一種方案。分析 第一想法是打表，是不是沒救了 然後首先就是考慮到了二分.然而範圍十分神奇.可以說是猜出來的。然後就是考慮把一些球連...
網路流24題 魔術球問題
列舉答案轉化為判定性問題，然後最小路徑覆蓋，可以轉化成二分圖最大匹配，從而用最大流解決。列舉答案a，在圖中建立節點1.a。如果對於i具體方法可以順序列舉a的值，當最小路徑覆蓋數剛好大於n時終止，a 1就是最優解。由於是順序放球，每根柱子上的球滿足這樣的特徵，即下面的球編號小於上面球的編號。抽象成圖論...
魔術球問題（網路流24題）
假設有n根柱子，現要按下述規則在這n根柱子中依次放入編號為1，2，3，的球。1 每次只能在某根柱子的最上面放球。2 在同一根柱子中，任何2個相鄰球的編號之和為完全平方數。試設計乙個演算法，計算出在n根柱子上最多能放多少個球。例如，在4 根柱子上最多可放11 個球。對於給定的n，計算在n根柱子上最多能...