資料結構與演算法之二叉查詢樹

對一般容器的查詢, 我們可以按順序遍歷, 找到符合要求的元素就返回; 對於元素是有序的容器, 可以使用二分查詢等方法查詢, 減少操作的時間複雜度.

容易知道, 一般查詢的平均時間複雜度是o(n), 二分查詢的平均時間複雜度是o(logn).

什麼是二叉查詢樹?

根結點的左子樹的結點都小(大)於根結點, 根結點的右子樹的結點都大(小)於根結點;

你也可能聽過二叉排序樹,二叉排序樹就是二叉查詢樹, 名字不同罷了.

二叉查詢樹是怎麼排序的呢? 我們可以想象一顆二叉查詢樹, 最左邊的結點最小, 最右邊的結點最大, 對每個子樹這個結論也成立. 所以,

二叉查詢樹的中序遍歷就是排序操作.

如上二叉查詢樹, 中序遍歷的結果是

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

根據二叉查詢樹的定義, 左子樹的結點都小於根結點, 右子樹的結點都大於根結點.

對於輸入待查詢的乙個結點, 我們可以先與根結點比較, 如果小於, 則繼續遞迴左子樹, 如果大於, 則繼續遞迴右子樹, 直到找到匹配的結點.

nodetree *bsearch(nodetree *root, const int &val)

if (val == root->val)
if (val < root->val)
if (val > root->val)
}

構建一顆二叉查詢樹也就是不停地執行二叉查詢樹的插入操作, 要保證插入之後的二叉樹還是二叉查詢樹.

二叉樹的插入操作就是其查詢操作的高階版本.

對需要插入的元素, 與根結點比較, 如果小於則對左子樹遞迴, 如果大於則對右子樹遞迴, 直到最終的葉子結點;

如果比葉子結點小, 則作為葉子結點的左子結點, 如果比葉子結點大, 則作為葉子結點的右子結點.

比如說插入元素6, 則按照加粗標記的箭頭插入. 最終遍歷到結點5時, 發現是葉子結點, 且6比5大, 則6作為5的右子結點插入.

對二叉查詢樹的刪除可以分類討論.

對於沒有子結點和只有乙個子結點的刪除操作, 可以參考這個圖

如果被刪除的結點沒有子結點, 即是葉子結點, 則直接將葉子結點的父結點指向該葉子結點的指標置空就行.

偽**如下:

node->parent->left == node ? (node->parent->left = nullptr) : (node->parent->right = nullptr);

delete node;

如果被刪除的結點只有乙個子結點, 則將該結點的父結點指向該結點的指標重新指向該結點的子結點即可.

偽**如下:

node->parent->left == node ? (node->parent->left = node->left) : (node->parent->right = node->right);

delete node;

如果被刪除的結點有兩個子結點, 則情況稍微複雜一點, 我們可以看乙個特例, 被刪除的結點是根結點. (不是根結點也是子樹的根結點)

我們需要刪除結點3, 怎麼操作?

根據二叉查詢樹的定義, 我們可以知道:

二叉查詢樹的最左邊結點是最小的結點;

二叉查詢樹的最右邊結點是最大的結點;

所以, 又有下面兩個結論:

左子樹的最右邊結點是左子樹的最大結點;

右子樹的最左邊結點是右子樹的最小結點;

所以, 我們有兩種方案刪除有兩個子結點的結點;

用左子樹的最右邊結點替換被刪除結點, 這時候被替換的結點依然滿足左子樹的結點都小於它, 右子樹的結點都大於它;

用右子樹的最左邊結點替換被刪除結點, 這時候被替換的結點依然滿足左子樹的結點都小於它, 右子樹的結點都大於它;

所以偽**可以是:

bool is_rl = false;              //判斷是否是左子樹根結點

nodetree *rl_node = node->right; //右子樹
while (rl_node->left)            //右子樹最左邊
rl_node->left = node->left;
if (is_rl)
delete node;

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