P1020 NOIP1999 普及組飛彈攔截

第一問,單個系統最多能攔截多少飛彈,求最長不公升序列即可.

拿出lis的模板塗塗改改.

bool cmp(const int& a, const int& b)     
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (s[i] <= dp[len] || !len)
dp[++len] =s[i];
else
printf(
"%d\n
", len);

第二問,最少需要多少個獨立的系統攔截所有飛彈.

飛彈的高度是有相同的,先簡化為所有資料不同.

首先猜想讓一套系統取走序列的lds(最長下降子串行),然後再來一套系統取走現在的序列的lds,直至序列為空,得到使用的系統數量.這個方法我沒有想到證明或者證偽的思路.

現在換一種思路,利用飛彈是依次飛來的條件,第一顆飛彈x飛來時有一套裝置a攔截之,現在第二顆飛彈飛來,有:

第二顆飛彈比第一顆高:只能使用另一套裝置b攔截.

比第一顆低:可以使用裝置a攔截,也可以使用裝置b攔截.

如果明確第二種情況下選擇的方法,那麼至少可以模擬出來.先比較一下兩種選項的利弊:

使用a攔截第二顆飛彈y:"消耗"了一套系統,並使得a系統拋棄了高度位於x與y之間的後續飛彈,但仍可攔截高度低於y的後續飛彈.

使用b攔截:"消耗了"兩套系統,並使得a系統仍可攔截高度位於x與y之間的後續飛彈,且b系統可攔截高度低於y的後續飛彈.

現在"控制變數"一下,讓情況1加一套系統,那麼就變成了"消耗"了兩套系統,並使得a系統拋棄了高度位於x與y之間的後續飛彈,但仍可攔截高度低於y的後續飛彈.且新增b系統可以補充攔截x與y之間的後續飛彈.可見情況1下可以在相同消耗的情況下達到等價情況2的效果.

然而在一種特殊情況下,情況1可以在更小消耗下達到等價情況2的效果:後續飛彈高度均低於y.此時情況1只需要消耗一套系統,情況2則消耗了至少兩套系統.並且不存在這樣一種特殊情況,使得情況2可以在消耗更小的條件下達到等價情況1的效果.

因此有如下求解策略:不停地啟用一套新的系統,對於每一套系統依次嘗試攔截所有飛彈,如果可攔截則攔截,否則放棄,直到攔截所有的飛彈.

按照這個策略即可求解出最小消耗系統數,且這個數值與該飛彈高度序列的最長上公升子串行的長度相等,證明可以看這裡.這樣才能保證複雜度.

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