記多項式第\(i\)項係數是\(b_i\)
\[ans = b_0 + \sum_^b_i \sum_^ k^i \binom x^k(1-x)^
\]我們考慮用第二類斯特林數展開\(k^i\)
\[k^i=\sum_^s(i,j)j! \binom
\]於是
\[\begin
ans &= b_0 + \sum_^b_i \sum_^ k^i \binom x^k(1-x)^\\
&= b_0 + \sum_^b_i \sum_^ \sum_^s(i,j)j! \binom \binom x^k(1-x)^\\
&= b_0 + \sum_^b_i \sum_^s(i,j)j! \sum_^ \binom \binom x^k(1-x)^\\
&= b_0 + \sum_^b_i \sum_^s(i,j)j! \sum_^ \binom \binom x^k(1-x)^\\
&= b_0 + \sum_^b_i \sum_^s(i,j)j! \binom x^j \sum_^ \binom x^(1-x)^\\
&= b_0 + \sum_^b_i \sum_^s(i,j)j! \binom x^j\\
\end
\]獲得乙個\(o(m^2)\)做法
我們考慮優化，展開第二類斯特林數
\[s(i,j)=\frac \sum_^(-1)^ \binom k^i = \frac \sum_^(-1)^ \binom k^i
\]於是
\[\begin
ans &= b_0 + \sum_^b_i \sum_^s(i,j)j! \binom x^j\\
&= b_0 + \sum_^ j! \binom x^j \sum_^b_i s(i,j)\\
&= b_0 + \sum_^ j! \binom x^j \sum_^b_i \frac \sum_^(-1)^ \binom k^i\\
&= b_0 + \sum_^ \binom x^j \sum_^b_i \sum_^(-1)^ \binom k^i\\
&= b_0 + \sum_^ \binom x^j \sum_^(-1)^ \binom \sum_^b_ik^i\\
\end
\]發現\(\sum_^b_ik^i\)就是\(f(k)-b_0\)
出題人非常涼心地給出了點值讓我們不需要多點求值
於是\[
\begin
ans &= b_0 + \sum_^ \binom x^j \sum_^(-1)^ \binom \sum_^b_ik^i\\
&= b_0 + \sum_^ \binom x^j \sum_^(-1)^ \binom (f(k)-b_0)\\
\end
\]後面的部分是乙個卷積的形式，ntt解決
\(b_0\)顯然是\(f(0)\)
於是就做完了
時間複雜度\(o(mlogm)\)
不過據說各種\(o(m^2)\)做法亂艹過這題
清華集訓2016 汽水
試題描述 牛牛來到了乙個盛產汽水的國度旅行。這個國度的地圖上有n個城市，這些城市之間用 n 1 條道路連線，任意兩個城市之間，都存在一條路徑連線。這些城市生產的汽水有許多不同的風味，在經過道路 i 時，牛牛會喝掉 wi 的汽水。牛牛非常喜歡喝汽水，但過量地用汽水是有害健康的，因此，他希望在他旅行的這...
清華集訓2016 資料互動
題目描述 乙個簡單的網路系統可以被描述成一棵無根樹。每個節點為乙個伺服器。連線伺服器與伺服器的資料 線則看做一 條樹邊。兩個伺服器進行資料互動時，資料會經過連線這兩個伺服器的路徑上的所有服務 器 包括這兩個伺服器 自身 每個資料互動請求都有乙個非負的重要度，越重要的請求顯然需要得 到越高的優先處理權...
清華集訓2016Day4
用盧卡斯定理可知滿足條件即將 n 和 m 分別用 k 進製表示，要求 n 的每一位都要大於等於 m 的對應位。直接數字 dp 設 f 表示處理到第 i 位，n 是否觸上界，m 是否觸上界時的方案數。複雜度 o t log kn include include includeusing namespa...