fft 是一種可以在 \(o(n \log n)\) 的時間複雜度內求解兩個多項式的乘積。實際上， fft 只是在求解方法上優化了 dft（離散傅利葉變換）的過程，並沒有提出新的理論。但是其高效的複雜度使得它被廣泛使用。
就是使用乙個多項式的係數序列來表達這個多項式。
\[f(x) = \sum_^ a_ix^i \leftrightarrow f(x) = \\}
\]乙個 \(n\) 次多項式可以由 \(n+1\) 個點來確定。
設 \(y_i = f(x_i)\) 則
\[f(x) = \sum_^ a_ix^i \leftrightarrow f(x) = \
\]定義多項式 \(a(x) = \sum_ ^ a_ix^i\)，\(b(x)=\sum_^b_ix^i\)，它們的乘積為
\[(a * b)(x) = \sum_^ x^i \sum_^ia_kb_
\]實際上就是簡單的直接相乘
\(n\) 次單位為滿足 \(\omega^n = 1\) 的解 \(\omega\)，記作 \(\omega_n\)。
顯然，這 \(n\) 個單位根均勻分布在復平面的單位圓上。
自然地，\(w_n^k\) 的輻角為 \(\dfrac\)。因此，由尤拉公式，有
\[\omega_n^k = \cos\dfrac + i\cdot\sin \dfrac
\]\(\omega_n^k = \omega_^\)
等分成 \(pn\) 塊相當於先分成 \(n\) 塊後再將每個塊分成 \(p\) 塊，邊界自然不變，
\(\omega_n^} = -\omega_n^k\)。
指數加 \(\frac\) 相當於繞原點旋轉 \(\pi\) 。
\(\omega_n^p \cdot \omega_n^q = \omega_n^\)
設 \(\alpha = \frac, \beta = \frac\)，則
\[\begin
\omega_^ \times \omega_^&=(\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta)+i(\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta)\\ &=\cos (\alpha+\beta)+i \sin
(\alpha+\beta)\\&=\omega_^
\end
\]我們發現，當兩個多項式 \(a,b\) 同時取 \(x\) 時，得到的點分別為 \(y_a,y_b\)，\(a*b\) 取到的點即為 \((x,y_a \cdot y_b)\)。
這樣做是 \(o(n)\) 的。
對於任意係數多項式轉點值，我們可以隨意取 \(x\) 的值。
但如果我們代入 \(\omega\)，就可以免去很多次方計算。
但即使是這樣，我們代入還是 \(o(n^2)\) 的複雜度。
fft 演算法的基本思想是分治。
具體來說，我們從以下兩個方面進行拆分：
前 \(\frac\) 項和後 \(\frac\) 項。
奇數項和偶數項。
這樣拆分利用了單位根的性質：
將多項式拆分成兩半，則兩邊帶入的未知數的冪分別是 \(\omega_n^k\) 和 \(\omega_n^}\)。由性質二可以同時求出兩個位置上的值。
對於乙個多項式 \(f(x) = \sum c_ix^i\)，我們可以將其拆成 \(a(x) = \sum c_x^\) 和 \(b(x)=\sum c_ x^\)。所以 \(f(x)=a(x^2)+xb(x^2)\)。我們發現 \(a,b\) 的每一項的指數都只差一，所以我們在求出偶數項的時候，也能求出奇數項。
證明：\[\begin
\text(f(\omega_n^k)) &=\text(g((\omega_n^k)^2)) + \omega_n^k \times \text(h((\omega_n^k)^2))\\ &=\text(g(\omega_n^)) + \omega_n^k \times \text(h(\omega_n^))\\ &=\text(g(\omega_^k)) + \omega_n^k \times \text(h(\omega_^k))
\end
\]由性質二可得
\[\text(f(\omega_n^))=\text(g(\omega_^k))-\omega_n^k\times \text(h(\omega_^k))
\]注意到這裡我們每次都要對每個係數進行點乘，所以必須將多項式長度拓展到二的整數冪上。
由遞迴式 \(t(n)=2t(\frac)+n\) 得到 \(t(n)=o(n\log n)\)。
將點值表示式轉回係數表示式的過程被稱作傅利葉逆變換。
考慮 \(\text\) 本質上是乙個線性變換，我們可以給得到的新矩陣乘上乙個逆矩陣，來得到初始矩陣。
由於這個變換矩陣內的元素均為單位復根，其逆矩陣也很好求，只要將每一項取倒數再除以 \(n\) 就可以了。
複數取倒數還是要用到尤拉公式。
void fft(comp *x, int n, int type)
fft(l, n >> 1, type), fft(r, n >> 1, type);
comp wn1 = comp(cos(2 * pi / n), type * sin(2 * pi / n)), wnk = comp(1, 0);
for (int i = 0; i < (n >> 1); i++, wnk *= wn1;)
}
我們每次遞迴的時候都要將係數分成兩部分。為什麼不可以在計算前就將其計算好呢？
以 \(n=8\) 時為例：
原本係數 \(f=[0,1,2,3,4,5,6,7]\)，變換後係數 \(\text(f)=[0,4,2,6,1,5,3,7]\)。
寫成二進位制後發現，變換後的下標即為原數寫成二進位制再翻轉後的數。
證明咕著。
for (int i = 0; i < len; i++) rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) * (len >> 1));for (int i = 0; i < n; i++) if (i < rev[i]) swap(a[i], a[rev[i]]);void fft(comp *x, int n, int tp) }}
}
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