剛開始你有乙個數字 \(0\)，每一秒鐘你會隨機選擇乙個 \([0,2^n-1]\) 的數字，與你手上的數字進行或（c++,c 的|，pascal 的or）操作。選擇數字 \(i\) 的概率是 \(p_i\)。保證 \(0\leq p_i \leq 1\)，\(\sum p_i=1\) 。問期望多少秒後，你手上的數字變成 \(2^n-1\)。
設 \(s\) 為全集 （\(s=\\)），設 \(e(x)\) 表示 \(x\) 被包含於得到的數字數字的期望次數，根據 min-max 容斥，有
\[e(\max(s))=\sum_(-1)^e(\min(t))
\]其中 \(e(\max(s))=e(2^n-1)\) 即為我們所求。
考慮如何求出 \(e(\min(t))\)。顯然 \(e(\min(t))\) 等於「一直在 \([0,2^n-1]\) 中隨機取數，直到取到乙個數 \(x\ \mathrm\ t\neq \varnothing\) 的期望次數」。
設 \(f(t)\) 表示在 \([0,2^n-1]\) 中隨機取數，取到 \(t\) 子集內的數的期望。那麼
\[f(t)=\fracp(x)}
\]這個東西就是子集卷積，直接上 fwt 即可。
那麼\[e(\min(t))=\frac\ s)e(\min(t))+1)+1}=\frac\ s)}
\]這樣就在 \(o(2^nn)\) 內搞定了這道題。
#include using namespace std;
const int n=(1<<20)+10;
const double eps=1e-12;
int n,lim,bit[n];
double ans,p[n];
int main()
for (int i=1;iprintf("%.10lf",ans);
return 0;
}
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