Leetcode 215 陣列中的第K個最大元素

1、排序解決法

如果是乙個有序陣列，那麼尋找第k的大數則相當簡單了，且效率為1。陣列排序演算法中相對較優的演算法為快速排序，效率為n*lgn，將陣列從到到小排列，第k大的數則為array[k-1]。

快排的思想為，從陣列中取任意乙個值key，將大於key的值放在key右邊，小於key的值放在key左邊。key的左邊和右邊則都是有序的了，然後遞迴key左邊的子陣列和key右邊的子陣列，直到每個子陣列長度為1，此時，整個陣列均有序了。

public
static
int partition(int array, int left, int
right) 
if (j >i) 
while (array[i] > k && j >i) 
if (j >i) 
}array[i] =k;
returni;}
public
static
void quicksort(int array, int left, int
right) 
int i =partition(array, left, right);
quicksort(array, left, i - 1
);    quicksort(array, i + 1
, right);
}

本文中快排略有差異，是按從大到小順序排列。

快排的partition演算法有兩種寫法，具體可檢視快速排序及主定理。此解法效率為n*lgn

2、類快排解法

由於只要求找出第k大的數，沒必要將陣列中所有值都排序。

快排中的partition演算法，返回key在陣列中的位置，如果key的位置正好等於k-1，那麼問題則得到解決，如果key的位置不等於k-1，可使用遞迴查詢對應子陣列。直到key的位置等於k-1，則找對問題的解。

public
static
int findk(int array, int left, int right, int
k)  
else
if (i > k - 1
)  else
if (i < k - 1
)     
return0;
}

此解法的效率值為n*lgk，由於k是常數，所以此解法效率值為n，優於排序解法

3、最小堆解法

最小堆是一種特殊的陣列結構，它實質是乙個完全二叉樹，且樹中子節點的值均大於父節點的值，詳見堆排序及優先佇列。

考慮到只需要找到第k大的數，構造乙個大小為k的最小堆，堆中根節點為最小值。如果陣列中最大的幾個數均在堆中，那麼堆中根節點的值就是問題的解。

構造最小堆

void minheapfix(int a, int i, int
n)        
if (a[j] >temp)
break
;        a[i] =a[j];
i =j;
j = i * 2 + 1
;    }
a[i] =temp;
}void buildheap(int a, int
n)}

最小堆已構造完成，將陣列中剩餘的值與根節點相比，大於根節點的值則將根節點的值與之交換，同時維護最小堆的特性，遍歷結束，則根結點即為問題的解。

int findk1(int a, int l, int r, int
k)    }
return a[0
];}

4、bfprt演算法面說了快排法能夠使得其時間複雜度到達期望為o(n)，那能不能使得時間複雜度嚴格為o(n)呢？可以的，這裡就引出了bfprt演算法。

首先我們可以來看一下bfprt演算法的步驟：

分組（5個一組）

小組內排序(對於每一組的排序的時間複雜度是o(1))

把每個組的中位數拿出來組成乙個新的陣列

使用bfprt遞迴算出這個中位數組的中位數

用這個當做劃分值進行劃分

劃分成兩邊以後遞迴呼叫直到找到第k個數

原理：通過這樣選到的劃分數一定在0.3n-0.7n之間，如圖所示

每次選取到的劃分數一定都比紅色的數要大，比藍色的數要小

這樣時間複雜度的迭代公式就是：

通過推導不難算出其時間複雜度嚴格為o(n)

#include #include 
using
namespace
std;
int insertsort(int array, int left, int
right);
int getpivotindex(int array, int left, int
right);
int partition(int array, int left, int right, int
pivot_index);
int bfprt(int array, int left, int right, int
k);int
main()
;    cout 
<< "
原陣列：";
for (int i = 0; i < 20; i++)
cout 
<< array[i] << "";
cout 
<
//因為是以 k 為劃分，所以還可以求出第 k 小值
cout << "第 "
<< k << "
小值為：
"<< array[bfprt(array, 0, 19, k)] <
cout 
<< "
變換後的陣列：";
for (int i = 0; i < 20; i++)
cout 
<< array[i] << "";
cout 
<
return0;
}/** * 對陣列 array[left, right] 進行插入排序，並返回 [left, right]
* 的中位數。 */
int insertsort(int array, int left, int
right)
array[j + 1] =temp;
}return ((right - left) >> 1) +left;}/*
* * 陣列 array[left, right] 每五個元素作為一組，並計算每組的中位數，
* 最後返回這些中位數的中位數下標（即主元下標）。
* * @attention 末尾返回語句最後乙個引數多加乙個 1 的作用其實就是向上取整的意思，
* 這樣可以始終保持 k 大於 0。 */
int getpivotindex(int array, int left, int
right)
//利用 bfprt 得到這些中位數的中位數下標（即主元下標）
return bfprt(array, left, sub_right, ((sub_right - left + 1) >> 1) + 1);}
/*** 利用主元下標 pivot_index 進行對陣列 array[left, right] 劃分，並返回
* 劃分後的分界線下標。 */
int partition(int array, int left, int right, int
pivot_index)
}swap(array[partition_index], array[right]); 
//最後把主元換回來
return
partition_index;}/*
* * 返回陣列 array[left, right] 的第 k 小數的下標 */
int bfprt(int array, int left, int right, int
k)

原陣列：11910

113815

016217

51436

1812719

4第 8 小值為：7

變換後的陣列：40

1325

6789

1012

1314

1715

1611

1819

**：

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