最小生成樹

什麼是最小生成樹？

乙個有n個結點的連通圖的生成樹是原圖的極小連通子圖，且包含原圖中的所有n個結點，並且有保持圖連通的最少的邊。最小生成樹可以用kruskal演算法或prim演算法求出。

在一給定的無向圖g=(v,e)中，(u,v)代表連線頂點u與頂點v的邊，而w(u,v)代表此邊的權重，若存在t為e的子集，且為無迴圈田圖，使得w(t)最小，則此t為g的最小生成樹。最小生成樹其實是最小權重生成樹的簡稱。

最小生成樹的應用

生成樹和最小生成樹有許多重要的應用。

例如要在n個城市之間鋪設光纜，主要目標是要使這n個城市的任意兩個之間都可以通訊，但鋪設光纜的費用很高，且各個城市之間鋪設光纜的費用不同，因此另乙個目的是要使鋪設光纜的總費用最低。這就需要找到帶權的最小生成樹。

圖的入度和出度

1.構建圖的鄰接矩陣

示例圖：

根據上面示例圖的結構，是頂點與頂點之間的連線關係，又帶有權值，所以我們可以用鄰接矩陣來表示圖中頂點的關係：

v0可以定義為:

val graph0 =intarrayof(
0,10,
max_weight,
max_weight,
max_weight,
11,max_weight,
max_weight,
max_weight
)

其它點如此類推；

2.入度與出度

/**
* 獲取某個頂點的出度
* */fun getoutdegree(index: int): int 
}return
degree
}/*** 獲取某個頂點的入度
* */fun getindegree(index: int): int 
}return
degree
}

prim演算法演算法思路：

定義乙個臨時的一維陣列，用於存放可用的連線邊，陣列下標為頂點序號，值為權值

任選乙個點作為起點，以起點的所有權值對陣列進行初始化

找出陣列中最小權值的邊，即為最小生成樹的一條有效邊

將找到的最小邊在陣列賦值為0，代表已經使用過。並將陣列與找到頂點的所有邊進行比較，若頂點的邊的權值比當前存放的可用邊的權值小，則進行覆蓋

重複迴圈2，3，4的操作直至遍歷完所有頂點

演算法參考