定義
設\(a,b \in \mathbb\),且\(b \neq 0\).如果存在\(q\in\mathbb\)，使得\(a=bq\),則\(b\)整除a，記作\(b\mid a\)，此時\(b\)為\(a\)的因數，\(a\)叫做\(b\)的倍數.性質1
\(如果a \mid b 且 b\mid c\),那麼\(c\mid a\)
證明 ： \(設an=b, bm=c (n, m \in \mathbb).\)
\(\therefore c/a = nm.\)
\(\therefore c\mid a.\)
2\(如果a\mid b且a\mid c，有a\mid (bx+cy)\)
證明：\(設 as = b, at = c\)
\(s,t\in\mathbb\)
\(\therefore ast = c\)
\(\therefore a\mid c\)
3\(如果c\mid a, c\mid b，那麼對於任意m, n\in\mathbb,有c\mid ma+mb\).
證明\(如果m\neq 0,則a\mid b \leftrightarrow mb\mid ma\)
\(\because a\mid b\)
\(\therefore 不妨設an=b\)
\(\therefore anm = bm\)
\(\therefore n*am = bm\)
\(\therefore mb\mid ma\)
4\(如果ax+by=1，a\mid n, a\mid n. \rightarrow ab\mid n\).
證明：\(設as=n=1, bt=n, s,t\in\mathbb且s, t \neq 0\).
\(\because ax+by=1\).
\(\therefore \frac + \frac\).
\(\because ab\mid n\)
\(\therefore \frac\in\mathbb\)
\(\therefore n \times \frac\)
\(=\frac+\frac\)
\(=tx+sy\)
5如果\(b=d\times q + c,q\in\mathbb\)
\(d\mid c \leftrightarrow d\mid b\)
定義對於整數\(a,b (b \neq 0)\),求\(a \div b\)的餘數.記作\(a\)
\(mod\)
\(b\)
\((a\%b)\).
性質1.分配率
\((a+b)\%c=(a\%c+b\%c)\%c\)
\((a-b)\%c=(a\%c-b\%c)\%c\)
\((a\times b)\%c=(a\%c\times b\%c)\%c\)
\((a^b)\%c=(a\%b)^b\%c\)
統一證明:
設\(ka+m_a=c, kb+m_b=c\)
帶入整理可得:
\(\rightarrow(a+b)\%c=(m_a+m_b)%c\)
\(\rightarrow(a-b)\%c=(m_a-m_b)%c\)
\(\rightarrow(a*b)\%c=(m_a*m_b)%c\)
而冪運算可與看做多個乘法運算
2.縮放性
2.1\(如果a\%b=c,d\neq 0\)
\(\rightarrow (ab)\%(bd)=cd\)
證明:設\(a=bs+c\)
\(\rightarrow ad=(bs+c)d\)
\(\rightarrow ad=sbd+cd\)
\(\rightarrow (ab)\%(bd)=cd\)
2.2\(如果a\%b=c,d\mid a, d\mid b\)
\(\rightarrow(a/d)\%(b/d)=(c/d).\)
證明：設\(bs+c=a\).
\(\frac\times s + \frac=\frac\)
2.3\(\frac\%c=\frac\)
證明：兩邊同時乘\(b\)，可以得到：
\(a\%(bc)=a\%(bc)\)
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