資料結構之二叉堆 堆排序

很久以前排序演算法的時間複雜度一直是o(n^2)， 當時學術界充斥著「排序演算法不可能突破o(n^2)」的聲音，直到2023年，由d.l.shell提出了一種排序演算法，希爾排序（shell sort），才打破了這種不可能的聲音，把排序演算法的時間複雜度提公升到了o(n^3/2)！

當科學家們知道這種"不可能"被突破之後，又相繼有了更快的排序演算法，「不可能超越o（n^2）」徹底成為了歷史。

在2023年，沒錯，是55年前！堆排序這種奇思妙想的，十分精彩的，排序演算法誕生了！時間複雜度為o(nlogn)，遠甩o（n^2）

由robert w. floyd（羅伯特·弗洛伊德）和j.w.j. williams（威廉士）共同發明了著名的堆排序，同時也發明了「堆」這樣的資料結構， floyd在2023年獲得了圖靈獎！真是個狼人！！（比很人還要多一點）

有時候了解下歷史，也是十分有趣的！雖然你可能會覺得並沒什麼卵用~

之前第一次聽到堆這個詞的時候，感覺像是一堆什麼東西，完全跟樹連想不到一起，後來才知道，原來堆也是一顆二叉樹，而且是完全二叉樹

堆的性質：

堆中某個節點的值總是不大於或不小於其父節點的值；

堆總是一棵完全二叉樹。

我們可以把堆，存放在乙個陣列中，根據索引來獲取節點，那麼如何通過索引表示父子關係呢？

堆是一顆完全二叉樹，所以滿足如下條件

假如當前的節點索引為：k

父節點索引：(k-1) / 2

左孩子節點：2 * k + 1

右孩子節點：2 * k + 2

根據這個規律，我們就可以用索引來計算出父子節點的位置了。這樣就能把堆存放在陣列中使用，會更加節省記憶體。

堆排序演算法就是形成乙個堆後，假如是大頂堆，堆頂肯定是最大的元素，那我們每次都把堆頂的最大元素拿走，然後把堆末尾的元素放到堆頂來，但是這個元素不一定是當前最大的，所以還要對這個元素在堆裡進行比較，把最大的元素放到堆頂，再取出來。如此我們每次取出的都是剩餘元素中最大的元素，就能得到一組從大到小有序的元素。下面我們來用大頂堆對一組資料進行堆排序計算。

資料為：[50, 10, 90, 30, 70, 40, 80, 60, 20]

演算法分為兩個部分

1.如何將一組無序的資料構建出乙個初始的大頂堆？

2.在拿走堆頂元素之後，如何計算出新的堆頂元素？

首先我們要實現乙個操作：如果乙個節點的子節點比它更大，就交換位置，如果子節點還有子節點，就要繼續比下去，直到末尾。這個操作我們稱為：heapone

public void heapone(listlist, int len, int s)

list[s] = temp;
}

實現這個操作之後，就可以開始我們的第乙個部分了，形成初始大頂堆。

從最後乙個非葉子節點開始，對該節點進行heapone，一直從下往上，直到把所有的父節點都heapone了一遍，乙個初始的大頂堆就形成了。

public void heapsort(listlist)

for (i = list.count -1; i > 0; i--)//每拿走乙個元素，都重新計算新堆
}

演算法第二部分我們把堆頂的元素取出，放到乙個臨時變數裡存著。

然後把堆的最末尾元素取出來，放到堆頂。

把堆的長度-1（因為已經取出之前的堆頂元素了）

接著對剛剛這個從末尾放到堆頂的元素，進行heapone操作，讓他跟子節點比較，把最大的元素交換到堆頂來，再次形成最大堆。

一直重複這個操作後，直到最後乙個堆頂被取出，放到陣列末尾，堆的長度也就為0了，我們的陣列也就形成了一組從大到小的數列。

如此，堆排序就完成了

堆排序效能比較穩定，時間複雜度包含初始堆+排序時重建堆為：o(nlogn)。

在遊戲開發中也會經常使用到堆

比如top k問題，從n個資料中，找出最大的前100個。

用堆來實現優先載入佇列。

a星尋路演算法中，可以用最小堆來對尋路的開放列表維護順序，把f值最小的放在堆頂，每次取出堆頂後，再heapone一次就好了。比每次都對開放列表進行排序的效能高的多。

《大話資料結構》-程杰

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