求一種特殊無向圖的生成樹個數
無向圖如圖：
用matrix-tree定理，求出基爾霍夫矩陣來計算，再遞推答案；
\(ans(x)=3\times ans(x-1)-ans(x-2)+2\)
我們令輪狀病毒圓心編號為1，圓環上點編號從2~n+1
則可以得出無向圖的度數矩陣d和鄰接矩陣e
\(d=\beginn&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&0\\0&3&0&0&0&\cdots&0&0&0&0\\0&0&3&0&0&\cdots&0&0&0&0\\0&0&0&3&0&\cdots&0&0&0&0\\0&0&0&0&3&\cdots&0&0&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\0&0&0&0&0&\cdots&3&0&0&0\\0&0&0&0&0&\cdots&0&3&0&0\\0&0&0&0&0&\cdots&0&0&3&0\\0&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&3\\\end\)
\(e=\begin0&1&1&1&1&\cdots&1&1&1&1\\1&0&1&0&0&\cdots&0&0&0&1\\1&1&0&1&0&\cdots&0&0&0&0\\1&0&1&0&1&\cdots&0&0&0&0\\1&0&0&1&0&\cdots&0&0&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\1&0&0&0&0&\cdots&0&1&0&0\\1&0&0&0&0&\cdots&1&0&1&0\\1&0&0&0&0&\cdots&0&1&0&1\\1&1&0&0&0&\cdots&0&0&1&0\\\end\)
再得到基爾霍夫kirchhoff矩陣 \(k=\beginn&-1&-1&-1&-1&\cdots&-1&-1&-1&-1\\-1&3&-1&0&0&\cdots&0&0&0&-1\\-1&-1&3&-1&0&\cdots&0&0&0&0\\-1&0&-1&3&-1&\cdots&0&0&0&0\\-1&0&0&-1&3&\cdots&0&0&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\-1&0&0&0&0&\cdots&3&-1&0&0\\-1&0&0&0&0&\cdots&-1&3&-1&0\\-1&0&0&0&0&\cdots&0&-1&3&-1\\-1&-1&0&0&0&\cdots&0&0&-1&3\\\end\)
然後我們要求k的代數余子式的值，顯然是將帶有n的那一行，那一列（即第一行，第一列）去掉
接下來就是求n階行列式\(a=\begin3&-1&0&0&\cdots&0&0&0&-1\\-1&3&-1&0&\cdots&0&0&0&0\\0&-1&3&-1&\cdots&0&0&0&0\\0&0&-1&3&\cdots&0&0&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\0&0&0&0&\cdots&3&-1&0&0\\0&0&0&0&\cdots&-1&3&-1&0\\0&0&0&0&\cdots&0&-1&3&-1\\-1&0&0&0&\cdots&0&0&-1&3\\\end\)
對於a，顯然不能用\(n^3\)的高斯消元，所以我們要**a的性質。
將a的第一行變換到最後一行，得到\(b=\begin-1&3&-1&0&\cdots&0&0&0&0\\0&-1&3&-1&\cdots&0&0&0&0\\0&0&-1&3&\cdots&0&0&0&0\\0&0&0&-1&\cdots&0&0&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\0&0&0&0&\cdots&-1&3&-1&0\\0&0&0&0&\cdots&0&-1&3&-1\\-1&0&0&0&\cdots&0&0&-1&3\\3&-1&0&0&\cdots&0&0&0&-1\\\end\)
先根據行列式的性質得到\(a=(-1)^\times b\)
我們發現除了左下角有三個數字外，b已經是乙個上三角行列式，接下來是要消去左下角的三個數字
先消第n-1行（倒數第二行）
假設現在在消第i位，設\(f_i\)表示這一行的第i個數，\(g_i\)表示這一行第i+1個數
那麼我們可以將b的第i行\(\times f_i\)加到這一來，就可消去第i位。因為第i行-1後面一定是3，所以第i+1位\(+3\times f_i\)同理，第i+2位\(+(-f_i)\)。
即\(\beginf_=g_i+3\times f_i\\g_=-f_i\\\end\)
由第二個式子推出\(g_i=-f_\)帶人第乙個式子中，得到\(f_=3\times f_i-f_\)，同時也可得到\(g_=3\times g_i-g_\)
然後可以快速地將第n-1行消成\(\begin0&0&0&0&\cdots&0&0&f_-1&g_+3\end\) 了
同樣的方法，我們可以來消第n行
設第i位為\(h_i\),第i+1位為\(l_i\)
可得方程
\(\beginh_=l_i+3\times h_i\\l_=-h_i\\\end\)
解得\(h_=3\times h_i-h_\qquad l_=3\times l_i-l_\)
將第n行消成\(\begin0&0&0&0&\cdots&0&0&h_&l_-1\end\)
設\(f_-1=f\qquad g_+3=g\qquad h_=h\qquad l_-1=l;\)
則\(b=\begin-1&3&-1&0&\cdots&0&0&0&0\\0&-1&3&-1&\cdots&0&0&0&0\\0&0&-1&3&\cdots&0&0&0&0\\0&0&0&-1&\cdots&0&0&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\0&0&0&0&\cdots&-1&3&-1&0\\0&0&0&0&\cdots&0&-1&3&-1\\0&0&0&0&\cdots&0&0&f&g\\0&0&0&0&\cdots&0&0&h&l\\\end\)=\((-1)^\times \beginf&g\\h&l\\\end\)
所以\(a=(-1)^\times b=(-1)^\times \beginf&g\\h&l\\\end=-f\times l+g\times h\)
再推一推f,g,h,l,可以看出
\(h_=l_=f_=g_\)
最後就可以推出\(ans(n)=3\times ans(n-1)-ans(n-2)+2\)了
如果推不出，也可以求出\(f_,f_,f_\)再來求答案
#include #include #include int n;
struct number
void operator =(const number x)
void operator +=(const number x)
if (num[len+1]) ++len;
} void operator -=(const number x)
while (!num[len]) --len;
} number operator *(const int& x)
res.len=len;
if (res.num[len+1]) ++res.len;
return res;
} void print()
} x,y,z,_2;
int main()
z.print();
}}
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