給定 \(2\) 個多項式 \(f(x), g(x)\) ，請求出 \(f(x) * g(x)\)。
係數對 \(p\) 取模，且不保證 \(p\) 可以分解成 \(p = a \cdot 2^k + 1\) 之形式。
不關心\(1 \leq n \leq 10^5, 0 \leq a_i, b_i \leq 10^9, 2 \leq p \leq 10^9 + 9\)
現在這裡有兩個多項式\(a(x),b(x)\)，這兩個多項式我們都需要做一次dft
那麼我們定義\(p(x)=a(x)+i*b(x), q(x)=a(x)-i*b(x)\)
我們把\(p(x)\)經過dft後的第\(k\)項記為\(dft(p_k)\) (其他的也同理)，經過一些證明我們可以得到這樣乙個結論：\(dft(p_k)和dft(q_)\)互為共軛複數，特殊的，\(dft(p_0)\)和\(dft(q_0)\)為共軛複數
所以我們一次正向fft之後求出所有的\(dft(p_k)\)，就可以直接算出\(dft(q_k)\)
而此時\(dft(a_k)=\dfrac, dft(b_k)=-i*\dfrac\) 也是直接算出來就好了
綜上 我們只用了一次fft就對\(a(x)\)和\(b(x)\)都進行了dft 而不用兩次
**實現：
void dft(complex *a, complex *b)
fft(p, 1);
for (int i = 0; i < lim; i++)
for (int i = 0; i < lim; i++)
}
對於兩個點值表達的多項式\(c(x), d(x)\)
我們讓\(r(x)=c(x)+i*d(x)\)
然後對\(r\)進行反向fft
最後\(idft(r_k)\)的實部就是\(idft(c_k)\)，\(idft(r_k)\)的虛部就是\(idft(d_k)\)
這個就更好實現了
void idft(complex *c, complex *d)
fft(r, -1);
for (int i = 0; i < lim; i++)
}
好像有人給這個取了個名字叫mtt
這個技巧的使用沒有什麼限制，只要有兩個多項式都需要進行dft/idft就可以用
不卡時限的題目還是不怎麼需要用到這個技巧的。。。但是此題就要用
回到此題
當然你可以用三模數ntt 但是蒟蒻我並不會用
所以用fft
如果直接fft爆乘的話 肯定會爆出double的範圍
但是 如果我們把f(x)拆成兩個多項式\(f(x)=a(x)*2^+a_2(x)\)，把\(g(x)\)拆成\(g(x)=b(x)*2^+b_2(x)\)
然後計算\((a(x)*2^+a_2(x))(b(x)*2^+b_2(x))=a(x)*b(x)*2^+(a(x)*b_2(x)+a_2(x)*b(x))*2^+a_2(x)*b_2(x)\)
這四個式子兩兩相乘是不會乘爆的
但是這樣做需要做8次fft(為了不乘爆最少也要7次) 時間上接受不了
用上面的那個技巧 我們可以把fft的次數優化到4次
具體來說 就是\(a(x)和a_2(x)\)的dft一起做 \(b(x)和b_2(x)\)的dft一起做
然後分別算出\(a(x)*b(x),a(x)*b_2(x),a_2(x)*b(x),a_2(x)*b_2(x)\)，同樣兩個一組做idft
一共4次 完美 時間上還過得去 只比ntt慢一倍左右吧
注意一定要用long double。。。可能是乘積太大了導致精度不夠用
#include using namespace std;
typedef long long ll;
templateinline void read(t &num)
struct complex
};inline complex operator + (complex p, complex q)
inline complex operator - (complex p, complex q)
inline complex operator * (complex p, complex q)
inline complex operator / (complex p, long double q)
inline complex conj(complex p)
complex i = complex(0, 1), p[500005], q[500005], a[500005], a2[500005], b[500005], b2[500005];
ll n, m, mod, lim, l, rev[500005], ans[500005];
const long double pi = acos(-1.0);
void fft(complex *c, int tp)
for (int mid = 1; mid < lim; mid <<= 1)
} }}void dft(complex *a, complex *b)
fft(p, 1);
for (int i = 0; i < lim; i++)
for (int i = 0; i < lim; i++)
} int main()
for (int i = 0; i < lim; i++)
for (int i = 0; i <= n; i++)
for (int i = 0; i <= m; i++)
dft(a, a2); dft(b, b2);
for (int i = 0; i < lim; i++)
fft(p, -1); fft(q, -1);
for (int i = 0; i < lim; i++)
for (int i = 0; i <= n + m; i++)
return 0;
}
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