樹堆，在資料結構中也稱\(\rm treap\)，是指有乙個隨機附加域滿足堆的性質的二叉搜尋樹，其結構相當於以隨機資料插入的二叉搜尋樹。其基本操作的期望時間複雜度為\(\rm o(logn)\)。相對於其他的平衡二叉搜尋樹，\(\rm treap\)的特點是實現簡單，且能基本實現隨機平衡的結構。
\(\rm q\)：為什麼要用\(\rm treap\)？
\(\rm a\)：
這我們不得不談到\(\rm tree\)——二叉排序樹了。
二叉排序樹，是指根的左兒子比根小，右兒子比根大，且左右子樹均為二叉排序樹的樹 通俗來說，就是左子樹全部比根小，右子樹全部比根大，如圖：
這時候，我們要插入乙個節點，就不斷地判斷與根的大小關係（假設沒有節點相同）：
比根小，去左子樹
比根大，去右子樹
直到來到乙個空樹，插入：
刪除節點：
如果乙個節點是葉子節點，直接銷毀
否則，如果這個節點有乙個子節點，直接將其連線到該節點的父親
否則，沿著右子樹的根一路向左到底，然後用那個值替換掉要刪除的節點，例如我們要刪\(7\)：
因為這個點必定小於右子樹的其他值，且大於左子樹的全部數，所以他是作為根的最好人選
接下來，交換\(8\)和\(7\)，然後銷毀\(7\)：
查詢\(x\)的排名：
這個很簡單，檢視\(x\)與根的大小關係，如果相等，排名為左子樹元素個數\(+1\)
比根小，遞迴查詢他在左子樹的排名，排名為他在左子樹的排名，空樹排名為\(0\)
比根大，遞迴查詢他在右子樹的排名，排名為右子樹的排名+左子樹元素個數\(+1\)
查詢排名為\(x\)的數：
這個也很好理解，判斷左子樹元素個數是否大於等於之
如果是就在左子樹找
否則，如果剛好為左子樹元素個數\(+1\)，就是根
如果大於左子樹元素個數\(+1\)，則必定在右子樹，這個和查詢x排名對照起來就很好理解
查詢x的前驅（求權值比\(x\)小的最大節點）：
空節點返回\(\rm -inf\)
如果根的權值小於等於\(x\)，就在左子樹找
否則，取根和右子樹查詢結果的最大值（我們要求最大節點）
查詢x的後繼（求權值比\(x\)大的最小節點）：
空節點返回\(\rm inf\)
如果根的權值大於等於\(x\)，就去右子樹
否則，取根和左子樹查詢結果的最小值（我們要求最小節點）
其實上面的前驅後繼對照看就很好記
這時候細心的人會發現，這六個操作不就是剛剛上面講的\(\rm treap\)支援的操作嗎？
好吧，那如果是這樣我們還寫個\(\rm treap\)幹什麼？
原因看下圖
退化成一條鏈了！
恐怕是藥丸了，雖然一般情況下二叉排序樹複雜度不錯，是 \(\rm o(logn)\)
但是，不排除有喪心病狂的出題人故意卡你的情況，這時候複雜度為 \(\rm o(n)\)
要怎麼辦呢？
堆！你值得擁有！
堆的應用並沒有大的區別，請大家自行理解
洛谷p3369 【模板】普通平衡樹
\(\rm my\)
\(\rm code\)
#include#include#include#define inf 0x7fffffff
int n,tot,opt,xx,root,seed;
struct treapt[100005];
using namespace std;
inline int new(int num)
inline void update(int x)
inline void build()
inline void zag(int &x)
inline void zig(int &x)
void insert(int &p,int x)
if (x==t[p].val)
if (x1)
if (t[p].l||t[p].r)
else
update(p);
} else p=0;
return;
}x=x) return getvalbyrank(t[p].l,x);
if (t[t[p].l].size+t[p].cnt>=x) return t[p].val;
return getvalbyrank(t[p].r,x-t[t[p].l].size-t[p].cnt);
}int getrankbyval(int p,int x)
break;
}if (t[p].valt[ans].val) ans=p;
p=xx&&t[p].val'9')
while (ch>='0'&&ch<='9')
return f*x;
}
初始化\(\rm treap\)中的\(dat\)要用\(\rm c++\)自帶的\(rand()\)！！！否則反而會\(\rm tle\)！！！
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