我們仔細研究了nim遊戲，並且了解了找出必勝策略的方法。但如果把nim的規則略加改變，你還能很快找出必勝策略嗎？比如說：有n堆石子，每次可以從第1堆石子裡取1顆、2顆或3顆，可以從第2堆石子裡取奇數顆，可以從第3堆及以後石子裡取任意顆……這時看上去問題複雜了很多，但相信你如果掌握了本節的內容，類似的千變萬化的問題都是不成問題的。
現在我們來研究乙個看上去似乎更為一般的遊戲：給定乙個有向無環圖和乙個起始頂點上的一枚棋子，兩名選手交替的將這枚棋子沿有向邊進行移動，無法移動者判負。事實上，這個遊戲可以認為是所有impartial combinatorial games的抽象模型。也就是說，任何乙個icg都可以通過把每個局面看成乙個頂點，對每個局面和它的子局面連一條有向邊來抽象成這個「有向圖遊戲」。下面我們就在有向無環圖的頂點上定義sprague-garundy函式。
首先定義mex(minimal excludant)運算，這是施加於乙個集合的運算，表示最小的不屬於這個集合的非負整數。例如mex=3、mex=0、mex{}=0。
對於乙個給定的有向無環圖，定義關於圖的每個頂點的sprague-garundy函式g如下：g(x)=mex。
來看一下sg函式的性質。首先，所有的terminal position所對應的頂點，也就是沒有出邊的頂點，其sg值為0，因為它的後繼集合是空集。然後對於乙個g(x)=0的頂點x，它的所有後繼y都滿足g(y)!=0。對於乙個g(x)!=0的頂點，必定存在乙個後繼y滿足g(y)=0。
這樣我們完全可以對應到我們的ｐ/ｎ分析上來，ｐ表示必敗點(g(x) == 0，所有後繼g(y)都不等於0（也即都是必勝點）)：所有能夠到達的點全是必勝點 。
n表示必勝點(g(y) != 0,，所有後繼g(y)肯定存在g(y) == 0的，(也即存在必敗點))：能夠達到必敗點的點
以上這三句話表明，頂點x所代表的postion是p-position當且僅當g(x)=0（跟p-positioin/n-position的定義的那三句話是完全對應的）。我們通過計算有向無環圖的每個頂點的sg值，就可以對每種局面找到必勝策略了。但sg函式的用途遠沒有這樣簡單。如果將有向圖遊戲變複雜一點，比如說，有向圖上並不是只有一枚棋子，而是有n枚棋子，每次可以任選一顆進行移動，這時，怎樣找到必勝策略呢？
讓我們再來考慮一下頂點的sg值的意義。當g(x)=k時，表明對於任意乙個0<=i對於n個棋子，設它們對應的頂點的sg值分別為(a1,a2,...,an)，再設局面(a1,a2,...,an)時的nim遊戲的一種必勝策略是把ai變成k，那麼原遊戲的一種必勝策略就是把第i枚棋子移動到乙個sg值為k的頂點。這聽上去有點過於神奇——怎麼繞了一圈又回到nim遊戲上了。
其實我們還是只要證明這種多棋子的有向圖遊戲的局面是p-position當且僅當所有棋子所在的位置的sg函式的異或為0。這個證明與上節的bouton's theorem幾乎是完全相同的，只需要適當的改幾個名詞就行了。
剛才，我為了使問題看上去更容易一些，認為n枚棋子是在乙個有向圖上移動。但如果不是在乙個有向圖上，而是每個棋子在乙個有向圖上，每次可以任選乙個棋子（也就是任選乙個有向圖）進行移動，這樣也不會給結論帶來任何變化。
所以我們可以定義有向圖遊戲的和(sum of graph games)：設g1、g2、……、gn是n個有向圖遊戲，定義遊戲g是g1、g2、……、gn的和(sum)，遊戲g的移動規則是：任選乙個子遊戲gi並移動上面的棋子。sprague-grundy theorem就是：g(g)=g(g1)^g(g2)^...^g(gn)。也就是說，遊戲的和的sg函式值是它的所有子遊戲的sg函式值的異或。
再考慮在本文一開頭的一句話：任何乙個icg都可以抽象成乙個有向圖遊戲。所以「sg函式」和「遊戲的和」的概念就不是侷限於有向圖遊戲。我們給每個icg的每個position定義sg值，也可以定義n個icg的和。所以說當我們面對由n個遊戲組合成的乙個遊戲時，只需對於每個遊戲找出求它的每個局面的sg值的方法，就可以把這些sg值全部看成nim的石子堆，然後依照找nim的必勝策略的方法來找這個遊戲的必勝策略了！
回到本文開頭的問題。有n堆石子，每次可以從第1堆石子裡取1顆、2顆或3顆，可以從第2堆石子裡取奇數顆，可以從第3堆及以後石子裡取任意顆……我們可以把它看作3個子遊戲，第1個子遊戲只有一堆石子，每次可以取1、2、3顆，很容易看出x顆石子的局面的sg值是x%4。第2個子遊戲也是只有一堆石子，每次可以取奇數顆，經過簡單的畫圖可以知道這個遊戲有x顆石子時的sg值是x%2。第3個遊戲有n-2堆石子，就是乙個nim遊戲。對於原遊戲的每個局面，把三個子遊戲的sg值異或一下就得到了整個遊戲的sg值，然後就可以根據這個sg值判斷是否有必勝策略以及做出決策了。其實看作3個子遊戲還是保守了些，乾脆看作n個子遊戲，其中第1、2個子遊戲如上所述，第3個及以後的子遊戲都是「1堆石子，每次取幾顆都可以」，稱為「任取石子遊戲」，這個超簡單的遊戲有x顆石子的sg值顯然就是x。其實，n堆石子的nim遊戲本身不就是n個「任取石子遊戲」的和嗎？
所以，對於我們來說，sg函式與「遊戲的和」的概念不是讓我們去組合、製造稀奇古怪的遊戲，而是把遇到的看上去有些複雜的遊戲試圖分成若干個子遊戲，對於每個比原遊戲簡化很多的子遊戲找出它的sg函式，然後全部異或起來就得到了原遊戲的sg函式，就可以解決原遊戲了
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博弈論 （SG函式）
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