洛谷P5205 模板 多項式開根

題目大意：給你$n$項多項式$a(x)$，求出$b(x)$滿足$b^2(x)\equiv a(x)\pmod$

題解：考慮已經求出$b_0(x)$滿足$b_0^2(x)\equiv a(x)\pmod}$

$$b(x)-b_0(x)\equiv0\pmod}\\

b^2(x)−2b(x)b_0(x)+b_0^2(x)≡0\pmod\\

a(x)-2b(x)b_0(x)+b_0^2(x)≡0\pmod\\

b(x)\equiv\dfrac\pmod\\

$$update：（2019-2-10）

$$b(x)\equiv\dfrac\pmod\\

b(x)\equiv\dfrac+\dfrac2\pmod\\

$$發現$\dfrac2$只會影響$b(x)$陣列的前半部分（即$\pmod}$的部分），但是$b(x)\equiv b_0(x)\pmod}$，所以可以不做考慮，直接把$b_0(x)$拉過來

卡點：求$inv$時注意清空陣列，防止因為$b$陣列不乾淨導致出鍋

c++ code：

#include #include #include #define maxn 262144

const int mod = 998244353, __2 = mod + 1 >> 1;
namespace std 
inline istream& operator >> (int &x) 
#undef m
} cin;
struct ostream 
static int s[20], *top; top = s;
while (x) 
for (; top != s; --top) *++ch = *top;
return *this;
}		inline ostream& operator << (const char x) 
inline ~ostream() 
#undef m
} cout;
}namespace math 
inline int inv(int x) 
}inline void reduce(int &x) 
inline void clear(register int *l, const int *r) 
namespace poly 
inline void fft(int *a, const int op = 1) 
}		if (!op) 
}	void inv(int *a, int *b, int n) 
const int len = n + 1 >> 1;
inv(a, b, len); init(len * 3);
static int c[n], d[n];
std::copy(a, a + n, c); clear(c + n, c + lim);
std::copy(b, b + len, d); clear(d + len, d + lim);
fft(d), fft(c);
for (register int i = 0; i < lim; ++i) d[i] = (2 - static_cast(d[i]) * c[i] % mod + mod) * d[i] % mod;
fft(d, 0); std::copy(d + len, d + n, b + len);
}	void sqrt(int *a, int *b, int n) 
static int c[n], d[n];
const int len = n + 1 >> 1;
sqrt(a, b, len);
inv(b, d, n), clear(d + n, d + lim);
std::copy(a, a + n, c); clear(c + n, c + lim);
fft(c), fft(d);
for (register int i = 0; i < lim; ++i) d[i] = static_cast(c[i]) * d[i] % mod * __2 % mod;
fft(d, 0); std::copy(d + len, d + n, b + len);
}#undef n
}int n, a[maxn], b[maxn];
int main()

洛谷5205 模板 多項式開根

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多項式開根小結

跟 exp expex p 套路是一樣的，套乙個牛頓迭代就出來了。給出多項式 a x a x a x 求出乙個多項式 g x g x g x 滿足 g2 x a x modx n g 2 x equiv a x pmod g2 x a x mod xn 設 f g x g2 x a x f g x ...