有\(f_n^2=(f_^2+f_^1),f_^2=(f_^2-f_^2)\)
令\(g_n=f_n^2\)，很自然的有：\(g_n=2g_+2g_-g_\)
將遞推式寫成矩陣的形式\(a\)，令\(\vec_n\)為\((g_n,g_,g_)^t\)，可以逆推出\(\vec_0\)
把\(\vec\)表示成\(a^n\vec\)
將題目中的\(f(s)=\sum\limits_g(\sum\limits_s)\)也寫成列向量的形式：\(\vec(s)=\sum\limits_\vec(\sum\limits_u)\)
\(\vec(s\cup a)=\vec(s)+\sum\limits_\vec(\sum\limits_u+a)=\vec(s)+\sum\limits_a^a\vec(\sum\limits_u)=(i+a^a)\vec(s)\)
故\(\vec(s)=\prod\limits_(i+a^a)\)
結論1：若\(len_v\equiv 0~mod~len_w\)，\(vw\)的最短週期為\(len_w\)
證明顯然推論：若\(len_v\equiv 0~mod~len_w\)，\(v\)會變成：\(vw,vww,vwww,\cdots\)
結論2：若\(len_v\not\equiv 0~mod~len_w\)，\(vw\)的最短週期為\(len_v\)
證明：推論：若\(len_v\not\equiv 0~mod~len_w\)，\(v\)會變成：\(vw,vwv,vwvvw\)。即\(f_0=v,f_1=vw,f_i=f_+f_\)顯然，\(len_v\)是\(vw\)的週期，下證不存在比\(len_v\)還短的週期
假設存在\(len_x，\(len_x\)為\(vw\)的週期
\(len_x\ge len_w\)（\(len_w\)是\(v\)最短週期）
若\(len_v\equiv len_x~mod~len_w\)
\((len_x,len_w)\)是\(len_v\)的週期（weak periodicity lemma），由於\(len_v\not\equiv 0~mod~len_w\)，故\((len_x,len_w)，與\(len_w\)為\(v\)最短週期矛盾
若\(len_v\not\equiv len_x~mod~len_w\)
\((len_w,(len_v-len_x)\% len_w)\)是\(len_w\)的週期（由於\(len_x\)是\(vw\)的週期，從\(v_\)開始的一段\(len_w\)等於\(w\)），故也是\(len_v\)的週期，其小於\(len_w\)，與\(len_w\)為\(v\)最短週期矛盾。
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