fft和ntt真是噩夢呢
既然被fft和ntt坑夠了，坑一下其他的人也未嘗不可呢
設有乙個數a，使得an=1，其中n為滿足an=1的最小正整數
滿足條件的a有哪些呢？
更寬泛地說，只要在乙個集合中定義了加法和乘法，而且二者滿足：
（這些基本上是小學學的吧，除了最後一點之外，其他都是廢話）
那麼裡面滿足an=1的數都是我們可以討論的數
這樣說，這些數也是可以滿足要求的：
這裡的a就是我們要找的單位根
好，這下我們來**一下fft&ntt
首先，我們要知道這兩個是幹什麼的
fft和ntt都是dft的分治法下的優化
而dft則是將多項式的係數表達（就是「滿足f(x)=a+bx+cx2+dx3……的多項式」）變為點值表達（就是「經過(a,a'),(b,b'),(c,c')……的多項式」）的暴力演算法
用矩陣表達就是：
很明顯，dft的時間複雜度為θ(n2)的，這時單位元素的作用就體現出來了
我們把單位元素b及b的冪代替xi，其中b所對應的n和矩陣的邊長相等，那麼可以得到：
看上去就是換了個表示方法，但是變一下形就能分治了：
沒看出來？再變一下形試試：
是不是猛然發現我們有兩個相同的矩陣了？把相同的矩陣拿出來，去掉0看看：
這不就是把b2代進去的dft式子嗎，通過前面的敘述我們可以知道b2也是單位元素，那麼只要一開始的n是2的冪，我們就可以分治了是不是？
事情沒有這麼簡單，細心的可能會發現，我這裡挖了乙個大坑：前面那個矩陣不是乙個方陣，也就是說，前面那個矩陣等於：
但是通過單位元素的定義可以知道，(b2)n/2=1，也就是說有：
下面的半邊竟然和上面的一樣！忽略掉下面重複的半邊矩陣，轉移矩陣又變成了乙個方陣，我們又可以開始分治了
知道了怎麼分治計算其中乙個矩陣，我們再看一下另外乙個矩陣
另外乙個矩陣是對角矩陣，可以在更快的θ(n)內計算完成，但是我們想要做得更好（卡一卡常），那又怎麼辦呢？
這時我們可以發現，既然bn=1，n又是2的冪，那麼就有bn/2=-1，也就是說：
我們只要後面半邊轉移時用減號代替加號，而不需要再計算後面半邊的冪了，常數減半
到了這一步，基本的fft&ntt框架就到這裡了
說了這麼多，把係數表達變成點值表達又有什麼用呢？對廣大oier來說當然是加快多項式乘法了
對係數表示式暴力相乘當然是要θ(n2)的，但是點值表示式就只要θ(n)了：
但是又怎麼把點值表達變回平常的係數表達呢？這就要用到乙個公式了（只要記，不用證）
這就給我們了乙個ifft&intt的方法：把這個新的矩陣和係數再乘回去，我們熟悉的係數表達就回來了
不僅如此，既然b是單位元素，那麼b-1就也是單位元素，恩……ifft&intt乾脆就可以用fft&ntt的**嘛
dft&idft的優化介紹完畢了，但是還是很慢，那有什麼辦法卡常呢？
我們可以發現，每次分治的時候，原多項式的係數都會移動到不同的矩陣，而且係數移動和計算可以分離，可不可以先移動，再計算呢？
當然！分析之後可以發現，如果把序號為偶數的向量放在序號為奇數的向量前面，那麼原來位置為p的係數會移動到rev(p)處，用圖來說就是：
（用的是n=16時的例子，因為實在不好表示）
那麼我們可以先移動係數，再從下向上倍增地計算，那麼就能優化常數了
**（摘自洛谷**）：
for(int i=0;i)當用fft計算實係數多項式乘法時，我們可以用這樣乙個公式快速計算結果：r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?n>>1:0);
這樣我們就可以把兩個多項式相乘變成單個多項式的平方，因此可以偷懶少算一次fft
洛谷**：
ps：這裡只寫了其數學解釋，加強理解，並不會對**實現進行深究
忽然發現，這個證明改一改可以變為任意長度的快速離散傅利葉變換的證明，只要把2n換成an就可以了，這樣就不用做把531441=312擴充為1048576=220這種極其不划算的事了，時間複雜度和原來的應該差不多（似乎並沒有什麼用的樣子）
——會某人
演算法筆記 FFT NTT
本文不做證明，詳細證明請看如上資料。fft在演算法競賽中主要用來加速多項式的乘法 普通是多項式乘法時間複雜度的是o n2 而用fft求多項式的乘法可以使時間複雜度達到o nlogn fft求多項式的乘法步驟主要如下圖 其中求值是將係數表達轉換成點值表達，帶入的自變數是wn 1的複數解，稱為dft 插...
FFT NTT 學習筆記
顯然因為我不會數學，所以這篇文章會非常 感性 將兩個多項式乘起來，即求 f g h 多項式的項數 n le10 5 複數複數是指形如 x yi 的數，高中會教。它的四則運算法則是這樣的 令 p,q 為兩個複數 p pm q x p pm x q y p pm y q i p times q x px...
FFT NTT中檔題總結
被deepinc 怕了，把一些題放到這裡來 其實這道題放到中檔題也不太合適，個人感覺真的很難，機房裡好像都是頹的題解 因為期望的可加性，把每個點的貢獻單獨處理，即求期望深度 考慮 y 對 x 的貢獻 當且僅當 x y 的路徑上第乙個點就選 y y 才能成為 x 的祖先 所以 y 對 x 的貢獻就是 ...