dp 奶牛家譜 Cow Pedigrees

令人窒息的奶牛題

農民約翰準備購買一群新奶牛。在這個新的奶牛群中, 每乙個母親奶牛都生兩個小奶牛。這些奶牛間的關係可以用二叉樹來表示。這些二叉樹總共有n個節點(3 <= n < 200)。這些二叉樹有如下性質:

每乙個節點的度是0或2。度是這個節點的孩子的數目。

樹的高度等於k(1 < k < 100)。高度是從根到最遠的那個葉子所需要經過的結點數; 葉子是指沒有孩子的節點。

有多少不同的家譜結構? 如果乙個家譜的樹結構不同於另乙個的, 那麼這兩個家譜就是不同的。輸出可能的家譜樹的個數除以9901的餘數。

輸入格式：

兩個空格分開的整數, n和k。

輸出格式：

乙個整數，表示可能的家譜樹的個數除以9901的餘數。

我們可以顯而易見地想到dfs做法。給每乙個點賦編號，再接著列舉有無孩子的狀態。然後如果再大力剪枝，就可以驚喜地發現到$n=60$之後就tle到飛起了。

這不是一道dp題嘛……考慮一下轉移，發現每一種樹要麼從同一層轉移過來、要麼從上一層轉移過來。那麼接著存一存每一種樹最下面一層的葉子節點數，再存一存每一種樹方案總數，接著就是這些資訊的轉移……搞來搞去我也搞不清這是什麼東西了。

設$f[i][j]$表示$i$個節點構造出深度為$j$的樹的方案數。顯而易見的是，轉移方程為

其中，即f[i][k]的字首和。

在轉移的時候，我們只需要列舉右孩子的節點數，再利用乘法原理乘上左孩子深度為$j-1$（除去根）的方案數。之後再將重複的情況減一下就可以了。

這看上去並沒有什麼問題對吧。

看到這裡大佬您有沒有發現這個dp出鍋了呢。

是！的！這個人畜無害的dp出鍋了！！！

並且截止撰寫這篇部落格的時候，依然沒有找出問題在**……

xyz表示dp方程並不用這麼複雜並且表示我的**畫風清奇非常鬼畜

好吧，似乎這份是有點又臭又長的感覺

我們以$f[i][j]$表示$i$個節點，$1..j$深度的方案數的字首和。那麼轉移起來就方便很多；並且得益於dp方程的定義，子樹節點個數是可以列舉過去的，不存在上面做法方案數乘2的事情，因此也不用管重複的問題了。

1 #include2
const
int mo = 9901;3
int f[203][203];4
intn,m;
5int
main()
6

這道題真的是挺(wo)有(tai)趣(cai)的(le)，這些一步一步的寫法倒也是有很多值得深思的地方。

（似乎為了這題寫的程式數量可以立個記錄之類的？）

end