有限集合的大小很容易比較，只需要數一數，比一比就完了
而無限集不能這麼做。我們在這裡規定集合\(a\)與\(b\)大小相等當且僅當存在\(f: a\mapsto b\)為雙射
定理：無限集至少和它的乙個真子集有雙射
證明：考慮\(a\)，由選擇公理，我們可以取出\(b\subset a\)且\(b\)可數，那麼\(f:a\mapsto a\backslash b_0\)就可以取\(f(x)=\left\\beginb_, x=b_i\\x,x\not\in b\end\end\right.\)
集合\(s\)總是小於它的冪集\(2^s\)，定義\(2^s=\left\\)
這裡蘊含了乙個冪集公理，即集合的冪集還是集合
證明：假設存在乙個雙射\(f:s\mapsto 2^s\)，那麼取\(t=\left\\)，顯然這個集合不同於任何雙射中的值域，這就得到了乙個矛盾
這個方法叫對角線法則，很好用~
定義\(s\)可數(countable)當且僅當\(\exists f:\mathbb n\mapsto s\)為雙射
定理：\(\mathbb r\)不可數
證明：這是別處看來的，覺得更好理解一些(雖然沒有用到對角線法則)
這裡先只證明\([0,1]\)不可數。反證法：假設可數，則存在一種列舉方式使得我們能窮盡所有的實數，記這個數列為\(\left\\)
那麼對於\(a_0\)，我們可以把區間劃分為\([0,\frac],[\frac,\frac],[\frac,1]\)，則至多有兩個區間包含了\(a_0\)，取剩下的那個區間為下一次的操作區間，重複上述過程
這樣我們就得到了一系列區間套，最終會收斂到乙個點\(\xi\)
\(\xi\in\mathbb r\)，但是\(\forall i\)都有\(a_i\neq \xi\)，這樣就推出了矛盾
其實還有乙個名字的，不會寫……
這個定理很直觀：若\(|a|\le|b|\)且\(|b|\le|a|\)則\(|a|=|b|\)
證明用到了巴拿赫定理
若存在\(f:a\mapsto b\)和\(g:b\mapsto a\)都是單射，則
存在\(a_0,a_1\)滿足\(a_0\cap a_1=\varnothing\)，\(a_0\cup a_1=a\)
存在\(b_0,b_1\)滿足\(b_0\cap b_1=\varnothing\)，\(b_0\cup b_1=b\)
使得\(f\left(a_0\right)=b_1\)，\(g\left(b_0\right)=a_1\)
證明有點長，先去吃個飯~
剩下的內容可以看之前寫過的集合大小比較的文章，差不多都齊了……
資訊與計算科學
我的專業是資訊與計算科學 對這個專業的未來和課程 我都是很迷茫 剛開始看到我被這個專業錄取了 我還以為是被調劑去的 現在馬上就要讀完兩年了 隨著這幾天的複習 我在逐漸了解這門專業 下面我來談談這門專業課 首先說說 這是一門非常好的專業 尤其是現在的資訊時代 真的是太好了.可惜 我們的學校 我們的學生...
資訊與計算科學
我的專業是資訊與計算科學.對這個專業的未來和課程.我都是很迷茫.剛開始看到我被這個專業錄取了.我還以為是被調劑去的.現在馬上就要讀完兩年了.隨著這幾天的複習.我在逐漸了解這門專業.下面我來談談這門專業課.首先說說.這是一門非常好的專業.尤其是現在的資訊時代.真的是太好了.可惜 我們的學校.我們的學生...
資訊與計算科學
我的專業是資訊與計算科學 對這個專業的未來和課程 我都是非常迷茫 剛開始看到我被這個專業錄取了 我還以為是被調劑去的 如今立即就要讀完兩年了 隨著這幾天的複習 我在逐漸了解這門專業 以下我來談談這門專業課 首先說說 這是一門很好的專業 尤其是如今的資訊時代 真的是太好了.可惜 我們的學校 我們的學生...