如何求\(\sum_^ni^\lfloor\frac\rfloor^\)？\((1\leqslant n,a,b,c\leqslant10^9,k1+k2\leqslant 10)\)
設\(f(n,a,b,c)[k1][k2]\)表示原式的值，則：
若\(a\geqslant c\)，設\(a=pc+q(0\leqslant q，則
\[\begin
&\;\;\;\;\;f(n,a,b,c)[k1][k2]\\
&=\sum_^ni^\lfloor\frac\rfloor^\\
&=\sum_^ni^(pi+\lfloor\frac\rfloor)^\\
&=\sum_^ni^\sum_^\text_^jp^ji^j\lfloor\frac\rfloor^\\
&=\sum_^\text_^jp^j\sum_^ni^\lfloor\frac\rfloor^\\
&=\sum_^\text_^jp^jf(n,q,b,c)[k1+j][k2-j]
\end\]
只需遞迴計算\(f(n,q,b,c)\)並\(o(k^3)\)處理即可。
若\(b\geqslant c\)，設\(b=pc+q(0\leqslant q，則
\[\begin
&\;\;\;\;\;f(n,a,b,c)[k1][k2]\\
&=\sum_^ni^\lfloor\frac\rfloor^\\
&=\sum_^ni^(p+\lfloor\frac\rfloor)^\\
&=\sum_^ni^\sum_^\text_^jp^j\lfloor\frac\rfloor^\\
&=\sum_^\text_^jp^j\sum_^ni^\lfloor\frac\rfloor^\\
&=\sum_^\text_^jp^jf(n,a,q,c)[k1][k2-j]
\end\]
只需遞迴計算\(f(n,a,q,c)\)並\(o(k^3)\)處理即可。
若\(c>a\)且\(c>b\)，則有：
\[\begin
&\;\;\;\;\;f(n,a,b,c)[k1][k2]\\
&=\sum_^ni^\sum_^\rfloor-1}((j+1)^-[j\neq0]j^)\\
&=\sum_^\rfloor-1}((j+1)^-[j\neq0]j^)\sum_^n[j<\lfloor\frac\rfloor]i^\\
\end\]
又\[\begin
&\;\;\;\;\;j<\lfloor\frac\rfloor\\
&\leftrightarrow j+1\leqslant\lfloor\frac\rfloor\\
&\leftrightarrow jc+c\leqslant ai+b\\
&\leftrightarrow jc+c-b-1
於是，設\(t_\)為\(\sum_^w^i\)的多項式表示式的\(j\)次項係數
\[\begin
&\;\;\;\;\;f(n,a,b,c)[k1][k2]\\
&=\sum_^\rfloor-1}((j+1)^-[j\neq0]j^)\sum_^n[i>\lfloor\frac\rfloor]i^\\
&=\sum_^\rfloor-1}((j+1)^-[j\neq0]j^)(\sum_^ni^-\sum_^\rfloor}i^)\\
&=\lfloor\frac\rfloor^\sum_^ni^-\sum_^\rfloor-1}\sum_^\sum_^\text_^t_j^p\lfloor\frac\rfloor^q\\
&=\lfloor\frac\rfloor^\sum_^ni^-\sum_^\sum_^\text_^t_\sum_^\rfloor-1}j^p\lfloor\frac\rfloor^q\\
&=\lfloor\frac\rfloor^\sum_^ni^-\sum_^\sum_^\text_^t_f(\lfloor\frac\rfloor-1,c,c-b-1,a)[p][q]
\end\]
只需遞迴計算\(f(\lfloor\frac\rfloor-1,c,c-b-1,a)\)並\(o(k^4)\)處理即可。
當\(a=0\)或\(n\)很小時可直接計算。
類歐幾里得演算法
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