shoe pairs
模擬即可
attack and speed
模擬即可
bounded difference
對於乙個滿足 \(|a_i-a_|\leq k\) 的 \(i\) ，將 \(i,\ i+1,\ i+2\) 標記為特殊點
不難發現特殊點個數過多顯然無解，否則對每個特殊點 \(x\) ，列舉剩下 \(n-1\) 個元素 \(y\) ，判定交換 \((x,\ y)\) 是否合法即可
path union
現在有乙個根節點 \(1\) 深度為 \(0\) ，深度為 \(n\) 的滿二叉樹，非葉子節點 \(k\) 的兩個兒子是 \(2k,\ 2k+1\)做法一：對於每個 \(1\leq i\leq n\) ，你需要在深度為 \(i\) 的點中選 \(a_i\) 個點。對於乙個被選擇的點 \(u\) ，將根節點 \(1\) 到 \(u\) 這條路徑上所有的邊標記。你需要找到一組方案，最大化選擇完成後，被標記的邊的數量
不難猜到乙個結論，記 \(b_i=\displaystyle\sum_^na_j\) ，則答案等於 \(\displaystyle\sum_^n\min(2^i,\ b_i)\) 。大概可以感性理解一下
既然如此，我們從小到大考慮 \(i\) ，往滿二叉樹中依次插入 \(a_i\) 個深度為 \(i\) 的點。在滿二叉樹上 dfs，我們決定當前點 \(k\) 向左 \(ls\) 或向右 \(rs\) 的依據是，記 \(ls\) 子樹中最淺的深度 \(j_\) 使得存在至少一條 \(ls\) 子樹中深度為 \(j\) 的點向父親連的邊未被標記，對 \(rs\) 同理求得 \(j_\) ，往 \(j\) 較小的一側走即可
實現時可以用 long long 維護每個點子樹的 \(j\) ，用 hashmap 存
時間複雜度 \(o(n\displaystyle\sum a_i)\) ，空間複雜度 \(o(n\displaystyle\sum a_i)\) ，大概需要卡常 /kk
做法二：
沿用做法一的思路，我們每選乙個點，必定會將整棵樹深度最淺的未被標記的邊之一 \(p\) 標記掉，而 \(p\) 的大小是 \(o(\displaystyle\sum a_i)\) 級別的
因此按 \(i\) 遞增插入每個點 \(u\) ，可以暴力列舉出 \(u\) 對應的 \(p\) ，在 \(p\) 的子樹中隨意選擇乙個深度為 \(i\) 的點作為 \(u\) 即可
時間複雜度可以做到 \(o(\displaystyle\sum a_i)\)
做法三：
找出最大的 \(i\) 滿足 \(b_i\ge2^i\) ，深度為 \(i\) 的所有點向父親連的邊均會被標記，且 \(i\) 是滿足該條件的最大值
深度小於 \(i\) 的點不用考慮，將 \(a_i\) 填給第 \(i\) 層的字尾，接著考慮深度大於 \(i\) 的部分
為了保證深度為 \(i\) 的點向其父親連的邊都被標記，先對於每個深度為 \(i\) 的節點的左兒子，在其子樹中匹配乙個深度大於 \(i\) 的點，然後再給每個右兒子匹配
由於 \(i\) 是最大的滿足 \(b_i\ge2^i\) 的，這樣匹配可以使用掉所有深度大於 \(i\) 的點
時間複雜度 \(o(n)\)
tree antichain (hard)
給定一棵 \(n\) 個點的樹，找到乙個 \(1,\ 2,\ \cdots,\ n\) 的排列 \(a_i\) ，滿足 \(\forall\ 1\leq i與 \(a_\) 在樹上沒有邊。找到字典序最小的一組解將找排列看做二分圖匹配\(t\leq10^4;\ n\leq10^5\)
對於排列 \(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n\) ，在開頭之前新增乙個起點，在末尾之後新增乙個終點，對於相鄰的兩個元素，在其間連一條邊
左部 \(n+1\) 個點，表示 \(1,\ 2,\ \cdots,\ n\) 和起點；右部 \(n+1\) 個點，表示 \(1,\ 2,\ \cdots\ n\) 和終點
左部點 \(i_l\) 與右部點 \(j_r\) 不能連邊當且僅當 \((i,\ j)\) 是樹上的一條邊
得到匹配後，從起點 dfs 一遍即可找到對應排列
用 hall 定理判定是否存在完美匹配，可以得到，對於任意乙個左部點點集 \(s\) ，存在 \(|s|+|\)每個 \(u\in s\) 的出邊的交\(|\leq n+1\)
觀察一下可以發現，順序確定排列的每個點，當前森林為刪掉所有已經確定的點及其出邊，不存在完美匹配當且僅當，當前只有乙個連通塊，且當前樹是乙個菊花圖
接著觀察一下，刪掉點 \(u\) 後不存在完美匹配，當且僅當 當前森林僅有 \(u\) 單獨形成的連通塊和乙個菊花圖，或是 當前森林僅有乙個連通塊 \(u\) 出度為 \(1\) ，且 \(u\) 唯一出邊 \(v\) 度數為 \(2\) ，刪掉點 \(u\) 及其出邊後整個連通塊存在恰好乙個度數大於 \(1\) 的點
用 \(set\) 維護沒有被選過的點的集合，模擬一下即可，時間複雜度 \(o(n\log n)\)
p.s.: 如果將樹黑白染色，當前森林不合法當且僅當連通塊個數為 \(1\) 且至少有一種顏色在當前森林中只有恰好乙個對應顏色的點，寫著很簡單
parallel lines
給定平面上 \(n\) 個點，找到最小的 \(k\) 使得能用恰好 \(k\) 條相互平行的直線覆蓋所有點，即每個點恰好在一條直線上。保證答案的 \(k\leq400\)隨機化
考慮隨機兩個點 \(p,\ q\) ，以直線 \(pq\) 作為平行線之一暴力求一遍答案
不難發現對於答案的方案，至少有一條直線覆蓋了不少於 \(\frac nk\) 個點，故這樣做的正確率至少是 \(\frac 1\) 的
實際跑起來正確率蠻高的，不會證 /kk
需要對 \(n\) 較小的情況特殊處理（如 \(n\leq500\) ）以保證複雜度
關於 0x3f3f3f3f 的問題
0x3f3f3f3f是乙個很有用的數值，它是滿足以下兩個條件的最大整數。1 整數的兩倍不超過 0x7f7f7f7f，即int能表示的最大正整數。2 整數的每8位 每個位元組 都是相同的。我們在程式設計中經常需要使用 memset a,val,sizeof a 初始化乙個陣列a，該語句把數值 val ...
0x3f3f3f3f（無窮大數）
一般定義無窮大數都是inf 99999999,或者0x7f ff ff ff，但是有的時候inf過大，雖然保證了沒有數超過它，但是在需要加上乙個數的時候，inf a可能會導致溢位，最終變成乙個負數。而0x3f3f3f3f的數量級也1e9的，一般題不會給超過1e9的數 在把它當成無窮大的時候，兩個0x...
Python3物件導向 3 異常（3）異常作用
當丟擲異常時，看起來好像立即停止了程式的執行。丟擲異常之後的所有 都不會執行，除非處理了這一異常，程式將會退出並給出錯誤資訊。def no return print i am about to raise an exception raise exception this is always rai...