矩陣快速冪求遞推式

用矩陣將快速冪可以以logn級別的時間複雜度求出遞推式

典型題：求斐波那契數列第n項  n<=2^31-1 ；顯然 ，一步一步遞推o（n）演算法效率不夠

0 1 0　　　　f[n-3]　　f[n-2]

0 0 1　　*　 f[n-2] =　f[n-1]

1 1 3　　　　f[n-1]　　f[n-3]+f[n-2]+3*f[n-1]   

在方陣右上方  n-1  * n-1  矩陣的主對角線上 填1  最下面一行  從右到左填  遞推式的係數

用矩陣實現遞推式

由矩陣的基本性質知  a^n  *p =a^（n-1） *a*p

所以求遞推式第n項  可以通過* 轉移矩陣  n次實現

那麼問題來了 a^n  如何快速求？

可以用二分法遞迴求，也可以用二進位制累乘法

下面介紹二進位制快速冪:

2^11=2^1  *  2^2  *  2^8

也就是按照11的二進位制1011   加權算

**如下：

while(p)

//  a^n    最終結果就是矩陣     ans

對於 轉移矩陣  *  遞推首項  可以把遞推首項 設定為方陣 第一列有值，其餘列為0

這樣只用方陣乘法就夠了

matrix multi(matrix a,matrix b);9

matrix a,b;
10int a0[15
],k,m;
11void
init()
1221
matrix multi(matrix a,matrix b)
2231
return
ans;32}
33int
main()
3451         ans=multi(ans,a);
52         cout<9][0]<54return0;
55 }

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