COGS1882 國家集訓隊2011 單選錯位

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2011中國國家集訓隊命題答辯

gx和lc去參加noip初賽，其中有一種題型叫單項選擇題，顧名思義，只有乙個選項是正確答案。試卷上共有n道單選題，第i道單選題有ai個選項，這ai個選項編號是1,2,3,…,ai，每個選項成為正確答案的概率都是相等的。lc採取的策略是每道題目隨機寫上1-ai的某個數作為答案選項，他用不了多少時間就能期望做對

道題目。gx則是認認真真地做完了這n道題目，可是等他做完的時候時間也所剩無幾了，於是他匆忙地把答案抄到答題紙上，沒想到抄錯位了：第i道題目的答案抄到了答題紙上的第i+1道題目的位置上，特別地，第n道題目的答案抄到了第1道題目的位置上。現在gx已經走出考場沒法改了，不過他還是想知道自己期望能做對幾道題目，這樣他就知道會不會被lc鄙視了。

我們假設gx沒有做錯任何題目，只是答案抄錯位置了。

n很大，為了避免讀入耗時太多，輸入檔案只有5個整數引數n, a, b, c, a1，由上交的程式產生數列a。下面給出pascal/c/c++的讀入語句和產生序列的語句（預設從標準輸入讀入）：

// for pascal

readln(n,a,b,c,q[1]);

for i:=2 to n do

q[i] := (int64(q[i-1]) * a + b) mod 100000001;

for i:=1 to n do

q[i] := q[i] mod c + 1;

// for c/c++

scanf("%d%d%d%d%d",&n,&a,&b,&c,a+1);

for (int i=2;i<=n;i++)

a[i] = ((long long)a[i-1] * a + b) % 100000001;

for (int i=1;i<=n;i++)

a[i] = a[i] % c + 1;

選手可以通過以上的程式語句得到n和數列a（a的元素型別是32位整數），n和a的含義見題目描述。

輸出乙個實數，表示gx期望做對的題目個數，保留三位小數。

3 2 0 4 1

1.167

a =

正確答案

gx的答案

做對題目

出現概率

31/6

11/6

01/6

共有6種情況，每種情況出現的概率是1/6，gx期望做對(3+1+1+1+1+0)/6 = 7/6題。（相比之下，lc隨機就能期望做對11/6題）

對於30%的資料 n≤10, c≤10

對於80%的資料 n≤10000, c≤10

對於90%的資料 n≤500000, c≤100000000

對於100%的資料 2≤n≤10000000, 0≤a,b,c,a1≤100000000

數學問題數學期望

我們可以驚喜地發現每道題的情況是獨立的。

對於第i+1道題，有$a[i+1]$種可能的正解，有$a[i]$種可能填上去的答案。

那麼總情況數有$a[i+1]*a[i]$種，其中正確的情況有$min(a[i+1],a[i])$種，約分一下得到答案就是$ \sum 1/max(a[i+1],a[i]) $

1 #include2 #include3 #include4 #include5 #include6
using
namespace
std;
7const
int mxn=10000001;8
intread()
11while(ch>='
0' && ch<='9')
12return x*f;13}
14int
n,a,b,c,a[mxn];
15double ans=0;16
intmain()

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