設參與運算的多項式最高次數是n，那麼多項式的加法，減法顯然可以在o(n)時間內計算。
所以我們關心的是兩個多項式的乘積。樸素的方法需要o(n^2)時間，並不夠優秀。
考慮優化。
方案一：分治乘法。
對於多項式x,y，假設各有2m項，（即最高次數是2m-1)
x,y分別可以用兩個含m項的多項式來表示，即：
則由此可見，為了計算xy，只需計算出ac, (a+b)(c+d), bd，然後用多項式加減法求得xy即可。
設含有m項的多項式相乘的時間為t(m)
則於是容易算出時間複雜度是
，約等於
以上方法的優點在於，**難度低，思維難度低，多項式係數任意，對運算沒有任何限制。
缺點在於：太慢了！
方案二：fft / ntt
這種方法除了快之外，沒有任何優點。但仍是一種好方法。
fft的詳細推導不再描述，這裡只是簡單的總結。
對於多項式乘法，有一種思路，
a. 是先從係數表示法轉換為點值表示法,
b. 然後乘起來（得到乘積式的點值表示法)，
c. 最後從點值表示法轉變回係數表示法。
對於操作a，很容易做到o(n^2)，
對於操作b，很容易做到o(n),
對於操作c，用高斯消元可以做到o(n^3)，用拉格朗日插值法可以做到o(n^2)。
fft則是利用了單位根的性質，將操作a和操作c優化到了o(nlogn)。
雖然在複數域中永遠存在單位根，但是容易出現精度問題。
ntt並沒有用複數域的單位根。
當某兩個多項式相乘，係數對某一模數取模的時候，必須存在2^k次(2^k>=2n)單位根，且必須存在2的逆元。
當模數p是形如 998244353 的質數時，998244353 = 7 × 17 × 2^23 + 1，（ 2^k | phi(p) ）
設p的原根是g，則模p意義下，2^k次單位根是
。當模數並不是滿足要求的模數，我們可以知道，一次多項式乘法的結果，每一位上的數不超過n*p*p。
我們可以取多個不同的ntt模數，使得它們的乘積大於n*p*p。對每乙個ntt模數做一次多項式乘法，最後用中國剩餘定理計算即可。
我們定義多項式a的乘法逆元b，滿足a*b=1。
多項式求逆能解決多項式除法等一系列問題，因為x/y=x*y的逆元。
我們首先證明，多項式a存在乘法逆元的充要條件是a的常係數存在逆元。
必要性顯然，因為a的常數項*b的常數項=1。
由此，我們可以求出b的常數項，接著推出一次項係數，二次項係數...
所以乘法逆元存在且唯一，充分性同樣顯然。
為了求逆元，一種方法是o(n^2)，即先求常數項，再推出一次項係數，繼續推完整個多項式。
還有一種用o(nlogn)時間計算乘法逆元的方法，
先求出a(x)的常數項的逆元b，初始化b(x)=b，則
多項式乘法運算 NTT 數論變換 實現
多項式乘法 之前用fft交了乙個無限wa，懷疑是精度有問題然後就轉向ntt。關於fft和ntt力薦這兩篇吼文章，講得太吼了 塔萌講得很好了，我就存個這個模板。include include include include include include include include include...
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