眾所周知，平等博弈中，sg函式簡直就是神器（我還想寫一篇sg函式的科普作為前傳）。但是與平等博弈不同的是，不平等博弈中的兩個玩家的操作有著不一樣的約束，比如左玩家只能拿正面朝上的硬幣，右玩家只能拿反面朝上的硬幣。因此，超現實數出現了，它就是解決不平等博弈問題的神器
q：超現實數是什麼？
a：超現實數(surreal number)是乙個船新的數學概念，名字含義為「超越實數的數」。而事實上超現實數不僅包含了所有實數，還引入了「無窮大」（即「無窮大」是乙個超現實數），是乙個最大的相容四則運算的全序集合
q：啥是全序集合？啥是相容？還有你講了這麼多，超現實數的定義呢？
a：啊這，不要在意這些細節。你只要知道，超現實數和實數一樣，是可以比較大小的（就是定義了「小於號」），也可以加減乘除啥的（嚴格定義的話我也不是專業的我也做不到）
a：超現實數的定義啊，這太硬核了，這裡我只能簡單介紹一下。（感興趣的小夥伴可以網上搜尋一下「surreal number」，我就是這麼學廢的）每個超現實數都有乙個左集合和右集合，(我們研究的)超現實數都可以用實數表達
q：不是說還有「無窮大」等超越實數的存在嗎？
a：因為我們**的博弈是有限的所以的確不需要無窮大
q：怎麼通過左、右集合計算超現實數的對應實數呢？
a：這是乙個重要的操作（並不）。如果 \(l\) 是左集合中的最大值，\(r\) 是右集合中的最小值。如果 \(l,r\) 之間存在整數，那麼超現實數 \(g\) 為 \(l,r\) 之間絕對值最小的整數；如果 \(l,r\) 之間沒有整數，那麼超現實數 \(g\) 是乙個整數除以 \(2\) 的整數次冪，這個值要在 \(l,r\) 之間，並且要讓 \(2\) 的冪次盡可能小。（即 \(g=\dfrac a ,l，且 \(b\) 盡可能小）特別地，如果左集合為空集，那麼 \(l\) 視為負無窮大，右集合為空集則 \(r\) 視為無窮大
q：那 \(\dfrac 1 3\) 不能用這個方法生成嗎？
a：我們研究的超現實數不包含 \(\dfrac 1 3\) 這樣的數，\(\dfrac 1 3\) 和「無窮大」一樣，需要涉及無窮才能搞出來
q：說了那麼多超現實數，但是它和博弈有什麼關係？
a：介紹博弈之前，先看乙個博弈問題blue-red hackenbush string
a：假如我們簡化一下問題，所有字串都長這樣：lll...或者rrr...，那麼左右玩家各自的策略應該是什麼樣的？
q：（os：反了反了，我才是q好不）很顯然，因為最先不能操作的玩家失敗，所以左玩家盡量讓 l 串存在的時間久一點，右玩家就盡量讓 r 串存在的時間久一點
a：對，因此最終比較的其實就是字元 l 的個數和字元 r 的個數。對於l串，我們認為它的surreal number就是它的長度，對於r串，它的surreal number就是它長度的相反數。對每個串的surreal number求和（超現實數當然能做加法），得到的數就是整個局面的值。如果值大於 0，那麼左玩家必勝，小於 0 右玩家必勝，等於 0 就是後手必勝。這個規則也適用於其他的不平等博弈（除了一些存在先手必勝的局面的博弈，這時候就要引入irregular surreal number，就很複雜了，其實nim game就是2333）
q：但是lr交錯的字串，一看就不簡單
a：因此需要引入乙個規則：對於乙個博弈局面超現實數的左集合，就是左玩家進行一次操作後的所有可能的博弈局面；右集合就是右玩家進行一次操作後的所有可能的博弈局面
a：同樣，引入了分數後，博弈局面的值大於 0 左玩家必勝、小於 0 右玩家必勝、等於 0 後手必勝的結論還是使用的。你可以試試看 lr,r（值為 \(-\dfrac 1 2\)），看是不是右玩家必勝，然後試試看 lr,lr,r（值為 \(0\)），看是不是後手必勝
q：確實，6啊
a：其實超現實數的值，其實可以認為是左玩家比右玩家可以多操作的次數。只不過，這個值會有分數出現，就很神奇
a：剛剛那個問題其實有簡化的方法求surreal number。字串第 \(i\) 位如果是l，記 \(a[i]=1\)，否則記 \(a[i]=-1\)。如果字串是l開始的，我們把第乙個r的位置記作p，那麼 \(a[p]\) 乘以 \(2^\)，加上 \(a[p+1]\) 乘以 \(2^\)，以此類推，這個數字再加開始一連串l的個數就是surreal number了。如果開頭是r那正好相反
q：感覺這個計算方法表明了很多時候都是無視字串最後的字元，直接刪前面的
a：是的，但是由於作者太菜所以我也無法解釋其中的精妙之處，甚至連怎麼操作都沒明白
q：太強了
a：爬
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