《**楊氏矩陣在資訊學競賽中的應用 袁方舟》膜拜有感
前方高能，非戰鬥人員請撤離（都是很幹的數學概念）
楊表 (young tableaux)，又叫楊氏矩陣，是乙個啥都能摻一腳的代數結構。
為了方便討論，先來點定義。
楊圖：令 \(\lambda = (\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)\) 滿足 \(\lambda_1\ge\lambda_2\ge\ldots\lambda_m\ge 1,n=\sum \lambda_i\)。乙個形狀為 \(\lambda\) 的楊圖是乙個**，第 \(i\) 行有 \(\lambda_i\) 個方格，其座標分別為 \((i,1)(i,2)\ldots(i,\lambda_i)\)。下圖為 \(n=9,\lambda=(4,2,2,1)\) 的楊圖。
\[\left[\begin
* & * & * & * \\
* & * \\
* & * \\
*\end\right]
\]半標準楊表：將楊圖填上數字，滿足每行數字單調不減，每列數字單調遞增。
標準楊表：將 \(1,2,\ldots,n\) 填入楊圖，滿足每行、每列數字單調遞增。下圖為 \(n=9,\lambda=(4,2,2,1)\) 的一種標準楊表。
\[\left[\begin
1 & 4 & 7 & 8 \\
2 & 5 \\
3 & 9 \\
6\end\right]
\]斜楊圖：令 \(\lambda = (\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m),\mu=(\mu_1,\mu_2,\ldots,\mu_)\)，則形狀為 \(\lambda/\mu\) 的斜楊圖為楊圖 \(\lambda\) 中扣去楊圖 \(\mu\) 後剩下的部分。下圖為 \((9, 7, 5, 1)/(5, 3, 2)\) 的斜楊圖。
\[\left[\begin
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & * & * & * & * \\
\cdot & \cdot & \cdot & * & * & * & * \\
\cdot & \cdot & * & * & * \\
*\end\right]
\]斜半標準楊表、斜標準楊表：猜都猜得到，不浪費時間了。
rsk 演算法包括了插入和刪除。刪除操作其實就是插入反過來，不影響理解楊表就不寫了。
想要插入 \(x\) 時，從第一行開始，在當前行中找最小的比 \(x\) 大的數字 \(y\) (upperbound)（其實大於 \(x\) 還是大於等於 \(x\) 要看具體情況），交換 \(x,y\)，轉到下一行繼續操作；若所有數字比 \(x\) 小則把 \(x\) 放在該行末尾並退出（如果超出了楊圖的行數，那麼楊圖行數加 \(1\)）
舉個 \(\alpha\) 粒子，將 \(3\) 插入下圖半標準楊表：
\[\left[\begin
1 & 3 & 3 & 5 \\
2 & 6 \\
4\end\right]
\begin\leftarrow 3\\\\\\\end
\]第一行找到 \(5\)，變成：
\[\left[\begin
1 & 3 & 3 & 3 \\
2 & 6 \\
4\end\right]
\begin\\\leftarrow 5\\\\\end
\]第二行找到 \(6\)，變成：
\[\left[\begin
1 & 3 & 3 & 3 \\
2 & 5 \\
4\end\right]
\begin\\\\\leftarrow 6\\\end
\]第三行找不到比 \(6\) 大的數字，放到末尾：
\[\left[\begin
1 & 3 & 3 & 3 \\
2 & 5 \\
4 & 6
\end\right]
\]可以證明這樣操作後仍然滿足半標準楊表的定義。
上**！
vectora[n];
void insert(int x)
swap(x, *it);
}}
拓展一下，如果要求 \(k\) 個不相交的 lis，它們的長度之和最大為楊圖前 \(k\) 行長度之和，即 \(\lambda_1+\lambda_2+\ldots+\lambda_k\)。不過要注意，楊表前 \(k\) 行並不能告訴我們 lis 有哪些數。（類似 dp 求 lis 後那個 dp 陣列也無法告訴我們 lis 有哪些數）
舉個 \(\alpha\) 粒子，如果把 \([1,5,3,2,6,7,4]\) 插入到楊表中得到：
\[\left[\begin
1 & 2 & 4 & 7 \\
3 & 6 \\
5\end\right]
\]顯然 \(1,2,4,7\) 不是 lis，lis 應該是 \(1,5,6,7/1,3,6,7/1,2,6,7\)。不過長度是相同的。
這題就是求 k-lis 的題了。但是 \(k\) 沒有限制，如果維護的楊錶行數太大，樸素的插入演算法 \(o(n^2 \log n)\) 肯定過不了。這就需要乙個楊表的性質：如果把比較運算反過來（大於變小於等於），插入操作後的楊圖和原來的楊圖是轉置關係（但是楊表和楊表不是轉置的，只是形狀轉置），具體可以看看這題的題解。
話說回來，由於楊表和轉置楊表的關係，我們可以得出乙個結論，如果楊表的第一行數字個數是最長上公升子串行長度，那麼第一列數字個數是最長不上公升子串行長度。如果某題限制了最長上公升子串行長為 \(\alpha\)，最長不上公升子串行長為 \(\beta\)，我們就可以把它和行數為 \(\alpha\)，列數為 \(\beta\) 的楊表聯絡起來。（現在還沒用，一一對應的關係在下文會講）
我們可以將排列的數字按順序插入到空楊表中，這樣就會得到乙個標準楊表。但是這會出現兩個排列對應乙個楊表的情況，比如排列 \([2,1,3]\) 和排列 \([2,3,1]\) 都會得到楊表 \(\left[\begin1 & 3 \\ 2 \end\right]\)，出大問題。
考慮乙個排列對應兩個楊表，每插入乙個數字到楊表 \(a\)，我們在楊表 \(b\) 對應位置記錄這個數字的下標（下標從 \(1\) 開始）。
可以證明 \(b\) 也是個標準楊表。
舉個 \(\alpha\) 粒子，對於排列 \([2,3,1]\)，插入 \(2\) 得到：
\[a=\left[\begin2 \end\right],
b=\left[\begin1 \end\right]
\]插入 \(3\) 得到：
\[a=\left[\begin2 & 3 \end\right],
b=\left[\begin1 & 2 \end\right]
\]插入 \(1\) 得到：
\[a=\left[\begin1 & 3 \\ 2 \end\right],
b=\left[\begin1 & 2 \\ 3 \end\right]
\]而 \([2,1,3]\) 會得到：
\[a=\left[\begin1 & 3 \\ 2 \end\right],
b=\left[\begin1 & 3 \\ 2 \end\right]
\]這樣，我們就把乙個排列和兩個標準楊表一一對應了起來。
對合排列是一種特殊的排列，把對合排列當成個置換後，自己乘自己等於單位置換。好理解一點就是a[a[i]]=i。
比如 \(\left[\begin1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3\end\right]\) 就是個對合置換。
為什麼要講對合排列呢，因為把對合排列對應的兩個標準楊表是相等的。這意味著乙個對合置換和乙個楊表是一一對應的關係。
下篇
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