我的思考最小函式值

該題目給定了我們一些二次函式，不過這個函式只取了橫座標為正整數部分的值，並且三個係數都為正數，通過代數證明或者影象對稱軸分析，都可以肯定，該函式在其定義域（正整數）上，單調遞增且恆大於0。

接下來我們再看到題目要求，求這些函式所生成的所有函式值中最小的m個。

比較暴力的方法是從1開始迴圈（可能不是最暴力的方法），將1代入所有的函式中，分別得到n個函式值，然後再迴圈到2，按照這樣的方法再來一遍，又有n個函式值，又因為這些都是在其定義域內單調遞增的函式，那麼首先可以確定1中所有小於等於2中最小函式值的函式值，然後接著按照上述方案做，迴圈到k時，可以確定從x=1到x=k-1中所有小於等於x=k中最小函式值的函式值，直到確定了m個值。

但是這樣的話，思想實在簡單，絕配暴力演算法一名。暴力之處在於：一、每次求出\(o(n)\)的函式值，耗費\(o(n)\)的空間，最壞情況下要求\(o(mn)\)次，花費\(o(mn)\)空間，而資料一大，時間空間無疑是要超出範圍的；二、每次迴圈求出的函式值得進行排序，如果不排序，那個運算量不敢恭維，假設使用\(\theta (nlgn)\)複雜度排序，那麼也需要花\(\theta (mnlgn)\)的複雜度；三、再加上每次需要計算x=k中的最小函式值與前面k-1中所有的函式值進行比較，這樣在最壞情況下時間代價為：

\[o(\sum _ ^ (kn))=o((m-1)mn/2)=o(m^2n)

\]那麼，總的算來，就會消耗\(o(o(mn)+\theta (mnlgn)+o(m^2n))=o(m^2n)\)的時間代價，極其暴力！而且空間上的消耗也是巨大的！

那麼，我們該如何優化呢？

其實，大家看到函式解析式極其定義域就不難知道，他實際上是給了我們n串排好序的陣列，只是每個陣列中下標與其值存在一定的對應關係。我們由上面所說的可知，對於每個陣列，它們的最小值所在的下標都是1。現在，我們可以想象一下，每個陣列都有乙個箭頭，每個箭頭都指向1，然後在所有箭頭指向的函式值中，找到最小的那個，此時已經找到了1個最小函式值。接著，剛才輸出來的值所對應的箭頭就要向後移，指向x=2，然後再去和其他箭頭指向的函式值比較，以此類推。下面的兩個圖形象地展現了一部分操作過程。

那麼，現在我們需要將文字描述轉化為程式思路。

首先我們需要用三個陣列存a、b、c的值，然後需要乙個cmin存當前最小值，最後只需要拿乙個陣列f來表示每個函式中的那個「箭頭」所指的位置，那麼箭頭所指的函式值就會是\(a[k]f[k]^2+b[k]f[k]+c[k]\)，至此，思路就很明了了。

下面是我寫的程式，很簡單，最長耗時測試點用了344ms，沒超時。

#include using namespace std;
int main()
for(i=0;i該程式的時間複雜度為\(\theta (mn)\)。
大家也許會發現，這裡每次都重複計算了很多函式的值，浪費了很多時間，那有沒有辦法針對這一問題進行優化呢？答案是肯定的。
對於上述問題的優化方法，比較好的是用堆來做。思路是這樣的：首先，我們可以在所有「箭頭」指向1的時候，對所有箭頭對應的函式值建立小根堆；然後，每次從堆頂取走那個數，並將其所對應的「箭頭」指向下乙個函式值，然後把這個新的函式值代替那個取走的函式值放在堆頂，並自頂向下維護堆（大家可以證明一下，一直這樣操作下去，堆的性質恆成立）。下面是我的參考程式：
#include using namespace std;
struct dui
a[10010];
int heap_size;//堆的大小
void change(int m, int n)//自己寫的交換函式
void min_heapify(int i)
int main()
heap_size=n;
build_heap();
for(i=0; i該程式的時間複雜度為\(\theta (nlgn)\)或\(\theta (mlgn)\)。程式在洛谷上測試通過了，並且最大耗時的測試點耗時8ms。

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