最長回文子串

給定乙個字串 s，找到 s 中最長的回文子串。你可以假設 s 的最大長度為 1000。

示例 1：

輸入: "babad"

輸出: "bab"

注意: "aba" 也是乙個有效答案。

示例 2：

輸入: "cbbd"

輸出: "bb"

思路：中心擴散法的想法很簡單：遍歷每乙個索引，以這個索引為中心，利用「回文串」中心對稱的特點，往兩邊擴散，看最多能擴散多遠。要注意乙個細節：回文串的長度可能是奇數，也可能是偶數。

我們完全可以設計乙個方法，相容以上兩種情況：

1、如果傳入重合的索引編碼，進行中心擴散，此時得到的最長回文子串的長度是奇數；

2、如果傳入相鄰的索引編碼，進行中心擴散，此時得到的最長回文子串的長度是偶數。

class
solution 
}return s.substring(start,end+1
);    }
public
static
int expand(string s,int i,int
j)        
return j - i - 1
;    }
}

其實解決這類「最優子結構」問題，我們可以考慮使用「動態規劃」下來說一下動歸解決該題：

1、定義「狀態」；

2、找到「狀態轉移方程」。

記號說明：下文中，使用記號 s[l, r] 表示原始字串的乙個子串，l、r 分別是區間的左右邊界的索引值，使用左閉、右閉區間表示左右邊界可以取到。舉個例子，當 s = 'babad' 時，s[0, 1] = 'ba' ，s[2, 4] = 'bad'。

1、定義「狀態」，這裡「狀態」陣列是二維陣列。

dp[l][r] 表示子串 s[l, r]（包括區間左右端點）是否構成回文串，是乙個二維布林型陣列。即如果子串 s[l, r] 是回文串，那麼 dp[l][r] = true。

2、找到「狀態轉移方程」。

首先，我們很清楚乙個事實：

1、當子串只包含 11 個字元，它一定是回文子串；

2、當子串包含 2 個以上字元的時候：如果 s[l, r] 是乙個回文串，例如「abccba」，那麼這個回文串兩邊各往裡面收縮乙個字元（如果可以的話）的子串 s[l + 1, r - 1] 也一定是回文串，即：如果 dp[l][r] == true 成立，一定有 dp[l + 1][r - 1] = true 成立。

根據這一點，我們可以知道，給出乙個子串 s[l, r] ，如果 s[l] != s[r]，那麼這個子串就一定不是回文串。如果 s[l] == s[r] 成立，就接著判斷 s[l + 1] 與 s[r - 1]，這很像中心擴散法的逆方法。

事實上，當 s[l] == s[r] 成立的時候，dp[l][r] 的值由 dp[l + 1][r - l] 決定，這一點也不難思考：當左右邊界字串相等的時候，整個字串是否是回文就完全由「原字串去掉左右邊界」的子串是否回文決定。但是這裡還需要再多考慮一點點：「原字串去掉左右邊界」的子串的邊界情況。

1、當原字串的元素個數為 33 個的時候，如果左右邊界相等，那麼去掉它們以後，只剩下 11 個字元，它一定是回文串，故原字串也一定是回文串；

2、當原字串的元素個數為 22 個的時候，如果左右邊界相等，那麼去掉它們以後，只剩下 00 個字元，顯然原字串也一定是回文串。

把上面兩點歸納一下，只要 s[l + 1, r - 1] 至少包含兩個元素，就有必要繼續做判斷，否則直接根據左右邊界是否相等就能得到原字串的回文性。而「s[l + 1, r - 1] 至少包含兩個元素」等價於 l + 1 < r - 1，整理得 l - r < -2，或者 r - l > 2。

綜上，如果乙個字串的左右邊界相等，以下二者之一成立即可： 1、去掉左右邊界以後的字串不構成區間，即「 s[l + 1, r - 1] 至少包含兩個元素」的反面，即 l - r >= -2，或者 r - l <= 2； 2、去掉左右邊界以後的字串是回文串，具體說，它的回文性決定了原字串的回文性。

dp[l, r] = (s[l] == s[r] and (l - r >= -2 or dp[l + 1, r - 1]))

或者

dp[l, r] = (s[l] == s[r] and (r - l <= 2 or dp[l + 1, r - 1]))

編碼實現細節：因為要構成子串 l 一定小於等於 r ，我們只關心「狀態」陣列「上三角」的那部分取值。理解上面的「狀態轉移方程」中的 (r - l <= 2 or dp[l + 1, r - 1]) 這部分是關鍵，因為 or 是短路運算，因此，如果收縮以後不構成區間，那麼就沒有必要看繼續 dp[l + 1, r - 1] 的取值。

讀者可以思考一下：為什麼在動態規劃的演算法中，不用考慮回文串長度的奇偶性呢。想一想，答案就在狀態轉移方程裡面。

具體編碼細節在**的注釋中已經體現。

public
class
solution 
int longestpalindrome = 1
;        string longestpalindromestr = s.substring(0, 1
);        boolean dp = new
boolean[len][len];
//abcdedcba
//l   r
//如果 dp[l, r] = true 那麼 dp[l + 1, r - 1] 也一定為 true
//關鍵在這裡：[l + 1, r - 1] 一定至少有 2 個元素才有判斷的必要
//因為如果 [l + 1, r - 1] 只有乙個元素，不用判斷，一定是回文串
//如果 [l + 1, r - 1] 表示的區間為空，不用判斷，也一定是回文串
//[l + 1, r - 1] 一定至少有 2 個元素 等價於 l + 1 < r - 1，即 r - l >  2
//寫**的時候這樣寫：如果 [l + 1, r - 1]  的元素小於等於 1 個，即 r - l <=  2 ，就不用做判斷了
//因為只有 1 個字元的情況在最開始做了判斷
//左邊界一定要比右邊界小，因此右邊界從 1 開始
for (int r = 1; r < len; r++) }}
}return
longestpalindromestr;
}}

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