最長回文子串

給定乙個字串，找出該字串的最長回文子串。回文字串指的就是從左右兩邊看都一樣的字串，如aba，cddc都是回文字串。字串abbacdc存在的回文子串有abba和cdc，因此它的最長回文子串為abba。

初看這個問題可能想到這樣的方法：對字串s逆序得到新的字串s'，再求s和s'的最長公共子串，這樣求出的就是最長回文子串。

如s="caba", s'="abac"，則s和s'的最長公共子串為aba，這個是正確的。

但是如果s = 「abacdfgdcaba」, s』 = 「abacdgfdcaba」，則s和s'的最長公共子串為abacd，顯然這不是回文字串。因此這種方法是錯誤的。

要找出最長回文子串，首先要解決判斷乙個字串是否是回文字串的問題。最顯而易見的方法是設定兩個變數i和j，分別指向字串首部和尾部，比較是否相等，然後i++，j--，直到i >= j為止。下面的**是判斷字串str[i, j]是不是回文字串，即字串str從i到j的這一段子串是否是回文字串，在後面會用到這個方法。

[cpp]view plain

copy

bool

ispalindrome(string str,

intstart,

intend)

return

true

; }

蠻力法通過對字串所有子串進行判斷，如果是回文字串，則更新最長回文的長度。因為長度為n的字串的子串一共可能有(1+n)*n/2個，每次判斷子串需要o(n)的時間，所以一共需要o(n^3)時間來求取最長回文子串。

[cpp]view plain

copy

string longestpalindrome(string str)

} } }

return

str.substr(start, max);

}

因為蠻力法判定回文的時候需要很多重複的計算，所以可以通過動態規劃法來改進該演算法。假定我們知道「bab」是回文，則「ababa」也一定是回文。

[cpp]view plain

copy

定義p[i, j] =

true

如果子串s[i, j]是回文字串。

則 p[i, j] <- (p[i+1, j-1] && s[i]==s[j])。

base case如下：

[cpp]view plain

copy

p[ i, i ] ←

true

p[ i, i+1 ] ← ( si = si+1 )

據此動態規劃方法的**如下,

該方法的時間複雜度為o(n^2)，空間複雜度為o(n^2)。

[cpp]view plain

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string longestpalindromedp(string s)

; for

(int

i=0; i

table[i][i] = true

; for

(int

i=0; i

if(s[i] == s[i+1])

} /*依次求table[i][i+2]...table[i][i+n-1]等*/

for(

intlen=3; len<=n; ++len)

} }

return

s.substr(longestbegin, maxlen);

}

還有乙個更簡單的方法可以使用o(n^2)時間、不需要額外的空間求最長回文子串。我們知道回文字串是以字串中心對稱的，如abba以及aba等。乙個更好的辦法是從中間開始判斷，因為回文字串以字串中心對稱。乙個長度為n的字串可能的對稱中心有2n-1個，至於這裡為什麼是2n-1而不是n個，是因為可能對稱的點可能是兩個字元之間，比如abba的對稱點就是第乙個字母b和第二個字母b的中間。因此可以依次對2n-1個中心點進行判斷，求出最長的回文字串即可。根據該思路可以寫出下面的**。

[cpp]view plain

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string expandaroundcenter(string s,

intl,

intr)

return

s.substr(l+1, r-l-1);

} string longestpalindrome3(string s)

return

longest;

}

最長回文子串

最長回文子串 最長回文子串行

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