今晚看到演算法引論關於二分搜尋的相關問題，想起了當年看程式設計珠璣的「無處不在的二分搜尋」那章，記得作者說過能完全寫對二分搜尋的程式設計師寥寥無幾，當時自己也寫了下，確實不容易寫，主要的難點在於寫對，大致的框架可能大家都非常熟悉，但是裡面的下標怎麼確定是正確的呢？不對的下標很有可能造成死迴圈。不過，演算法引論所推崇的數學歸納法的思想還是很普適的，反應在程式上就是先寫n=1的情況，再寫歸納階段的**，這樣的方法用在寫二分搜尋感覺很有效，例如書中最普通的二分搜尋**如下：
int binarysearch(int* a, int l, int r, int z)else
else
}}
這裡對程式稍微做了點修改，但是大意是一樣的，可以看到，程式書寫的邏輯上，先處理n=1的情況，即l==r，這時候只有1個元素，對於1個元素的判斷是trivial的，然後在else裡面，算出middle並遞迴判斷，這裡是上取整，那麼為什麼要上取整？
要明白這個問題就是要理解，如果下取整會出現什麼情況？死迴圈！讓我們來驗證下，假如某個時刻l=r-1,且a[l]<=z，這個時候就是死迴圈的時候，因為每次middle都會等於l（下取整）而a[l]<=z所以會走else那個分支，又繼續遞迴l（此時middle是等於l的）和r，從而一直死迴圈下去。
仔細分析上面的情況不難發現，關鍵的地方在middle是下取整的情況，如果下取整會出現乙個關鍵的問題就是l有可能等於middle，我們如果抓住這個問題去分析，就會很容易發現在else分支會出現死迴圈。下面用同樣的方法分析下上取整，如果上取整的話，middle則可能會等於r，如果a[middle]>z，會直接導致r等於l，即在下次進入n=1的判斷；如果a[middle]<=z，則同樣會有middle等於r進入n=1的分支，這也證明了這個程式一定會在n=1的時候退出。其實在下取整和上取整發生不同的地方就是臨界的位置，這也是容易造成死迴圈的時候。
通過以上分析，我們總結下如何快速判斷乙個二分搜尋程式是否會出現死迴圈：
其實，程式設計珠璣中也介紹了程式驗證學的方法，即assert，這個方法也是很好的一種方法，特別的是寫短小程式的時候。
用這個方法，我發現圖6.3中，二叉搜尋的特殊下標問題中的程式是錯誤的，即middle的取法應該是下取整，書上是上取整，我用程式跑書的例子，果然華麗的堆疊溢位了，看來這種方法還是挺有作用的，不知道有人和我有同樣的疑問嗎，勘誤上並沒有說程式的問題。
[update] 最近做leetjob 的online judegment又遇到類似的，問題，繼續總結，二分查詢可以在有序陣列中找任意滿足某些特定條件的乙個數，先根據條件，確定middle比較的形式，之後就可以確定是用上取整還是下取整，上取整，上限j必須要變，下取整，下限i必須要變，例如第乙個找某個數x使得x>=target，那麼我們就要寫a[middle](完）
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