今天a了張子蘇大神的的題，感覺神清氣爽。
一篇對於多層nim博弈講的很透徹的博文：
問題1：今有若干堆火柴，兩人依次從中拿取，規定每次只能從一堆中取若干根， 可將一堆全取走，但不可不取，最後取完者為勝，求必勝的方法。
定義：若所有火柴數異或為0，則該狀態被稱為利他態，用字母t表示；否則， 為利己態，用s表示。
注意：這篇博文是先定義s和t，再通過它們的性質推出結論。
[定理1]：對於任何乙個s態，總能從一堆火柴中取出若干個使之成為t態。
證明：若有n堆火柴，每堆火柴有a(i)根火柴數，那麼既然現在處於s態， c = a(1) xor a(2) xor … xor a(n) > 0;
把c表示成二進位制，記它的二進位制數的最高位為第p位，則必然存在乙個a(t),它二進位制的第p位也是1。（否則，若所有的a(i)的第p位都是0，這與c的第p位就也為0矛盾）。
那麼我們把x = a(t) xor c,則得到x < a(t).這是因為既然a(t)的第p位與c的第p位同為1,那麼x的第p位變為0,而高於p的位並沒有改變。所以x < a(t).而
a(1) xor a(2) xor … xor x xor … xor a(n)
= a(1) xor a(2) xor … xor a(t) xor c xor … xor a(n)
= a(1) xor a(2) xor… xor a(n) xor a(1) xor a(2) xor … xor a(n)
= 0這就是說從a(t)堆中取出 a(t) - x 根火柴後狀態就會從s態變為t態。證畢。
[定理2]：t態，取任何一堆的若干根，都將成為s態。
證明：用反證法試試。
若c = a(1) xor a(2) xor … xor a(i) xor … xor a(n) = 0；
c' = a(1) xor a(2) xor … xor a(i') xor … xor a(n) = 0;
則有：c xor c' = a(1) xor a(2) xor … xor a(i) xor … xor a(n) xor a(1) xor a(2) xor … xor a(i') xor … xor a(n) = a(i) xor a(i') =0
進而推出a(i) = a(i')，這與已知矛盾。所以命題得證。
[定理 3]：s態，只要方法正確，必贏。
最終勝利即由s態轉變為t態，任何乙個s態，只要把它變為t態，（由定理1，可以把它變成t態。）對方只能把t態轉變為s態(定理2)。這樣，所有s態向t態的轉變都可以有己方控制，對方只能被動地實現由t態轉變為s態。因為全零屬於t態，故s態必贏。（不能單單從對稱拿取來考慮這個問題。例如a=b xor c，然後求sg這種情況。因為證不出來。。定理1只是說存在這種情況，並沒有說對稱拿取。）
[定理4]：t態，只要對方法正確，必敗。
由定理3易得。
問題2：今有若干堆火柴，兩人依次從中拿取，規定每次只能從一堆中取若干根， 可將一堆全取走，但不可不取，最後取完者為負，求必勝的方法。
【未完待續】
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