今天真是乙個豔陽高照的日子，本來關於normal transform（下文以nt代替）這個東西是沒什麼好提的，技術很簡單，然而在今天翻看rtr（《real time rendering》）並且在網上看了幾個部落格中關於nt的描述後，我算是真心給這些博主跪了..算了本來也打算開部落格寫opengl, 先小小的寫那麼一筆，呀啦那一卡.
首先來看一張圖，對nt有乙個簡單的認識，如圖1-1：
圖1-1 nt示意圖（來自《rtr》—figure 4.5）
從圖1-1看，左一為變換前的，左二為polygon經過矩陣變換後，法線未校正的情況，而最後一張圖為校正後的情況，這就是nt的全部過程，簡單易懂。而要完成這一方案，其實並不困難，我會介紹一種萬金油的解法，並且證明它，然後再介紹一些應對不同情況下不是萬金油但是卻高效的辦法（我不生產水，我只是大自然的搬運工）。
m-1 = adj(m) / |m|
那麼問題就來了，這個公式究竟有什麼用呢，在解釋它之前，我先證明一下其他文章中所提及的使用逆轉置來進行nt的方法。
定義兩條互相垂直的向量n和m那麼就有dot（n, m）=0(dot為點乘)，即ntm= 0。
對應其變換，n經過矩陣m變換，有n'=mn, 定義變換完成後的向量m'=gm，即有n』tm'= 0。
通過步驟2的推導可以得出(mn)t(gm) = 0, 可得ntmtgm= 0,根據步驟1中所給出的定義，可以得出mtg=i，證明如下：
假設x=mtg，得出dot（n,xm）= 0，那麼要滿足上述條件必須要有n與xm垂直，則有xm=m,得x = i
ok,通過以上三個步驟和證明，我們得出了mtg=i，那麼就可以得到nt矩陣g= (m-1）t, 這就是一般介紹的如何用變換矩陣的逆轉置來獲取nt矩陣的方法，但是，學過線性代數還沒有還給老濕的同學們應該知道，在3d變換中，普通的仿射變換存在很多變換矩陣是奇異的情況，在這些情況下，矩陣不可逆，既然不可逆，又上哪去求它的逆轉置，乃們說是不是，要死不要死。
然，伴隨矩陣常有而逆矩陣不常有，回到原來的萬金油問題，既然我們可以通過逆矩陣去求得nt矩陣，為什麼伴隨矩陣不可以，結合所給出的公式，我們可以得到如下式子
g= (adj(m) / |m|）t = adj(m)t / |m| => |m|g =adj(m)t
定義g'= |m|g，那麼不論通過g'還是g進行的變換，只會改變normal的大小而不會改變方向，矯正同樣可靠，只不過在使用g』進行變換後，需要將變換後的法向量進行歸一化，僅此而已。這有效的解決了矩陣奇異而不存在逆矩陣的情況，算是一種萬金油式的解決方案，但是向量歸一化造成的效能開銷，和伴隨矩陣的計算開銷確實存在，所以，接下來我將介紹一些特殊情況下高效的解決方案。
首先，如果每次都去做乙個4x4矩陣的伴隨陣是非常昂貴的乙個開銷，而且這並不是必要的，往往在一次變換中平移因素不會對法線的角度產生變換，只會對其相對位置產生變化，變化也不影響任何東西呀，隨意啦，並且往往在大多數變換中矩陣的右下角w都是保持不變的，也就是說，在這種情況下，我們可以排除掉變換矩陣的第四列，同時，第四行也沒有意義（都是0），所以排除第四行和第四列，我們只要計算乙個3x3矩陣的伴隨陣就可以了，工作量瞬間降低到原來的9/16,簡直是乙個不可以腦補的數字啊，算了，don't mind。
接下去是一種更令人感到快樂的情況，就是我們根本不用去算伴隨陣，這種情況非常特殊，也就是當變換矩陣為正交矩陣的情況下，那麼其轉置等於其逆，那麼nt矩陣就是變換矩陣，沒有改變，不需要任何額外計算開銷，關於變換矩陣的正交，這個自己去搜吧，一搜一大把，也就是只包含旋轉，統一縮放，平移等正交矩陣組合的矩陣。這種情況雖然效能最優秀，但是太侷限了，媽蛋！
最後一種情況是，不需要重新歸一化的情況，做向量歸一化其實還是蠻耗時的，如果能不歸一化當然很好，但是也非常有侷限性，需要變換矩陣只由旋轉和平移組合而成，這樣不會對法線產生大小的變化，如果加入統一的縮放矩陣，那麼只要除以其縮放因子即可，不需要做歸一化繁瑣的步驟，但是這種情況下，第二種情況更加合適，所以，在特殊情況下，可以用快速的方法就用快速的方法，如果不行，就使用萬金油方法吧，到此結束。
btw：的排版真不好用. :)
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