計算組合元素的個數
現在我已經確定了如何建立乙個組合物件，讓我們看看組合的三個基本操作的第二個——根據某個給定的條目總數 n 及子集大小 k 來計算組合元素的總數。舉個例子，如果你處理一次從 n=5 條目中取 k=3，這裡有10種可能的組合元素：
我想實現乙個 choose(n,k) 函式，它返回組合元素的個數;choose(5,3) 返回10。查詢現有的choose 實現，我驚訝地發現 internet 上的大多數演算法都很不耐用。在我向你展示我的 choose 實現之前，讓我們簡要地審視一下 choose 函式的標準實現。
編寫 choose(n,k) 函式的標準方法是直接使用其定義公式。這是乙個明顯的但是拙劣解決方案。這裡是乙個用 c# 編碼的典型 choose(n,k) 函式 ：
以下是引用片段：
// poor implementation of choose(n,k)
static int choose(int n, int k)
輔助函式 factorial 的實現如下：
以下是引用片段：
static int factorial(int m)
return ans;
} 這裡的 choose(n,k) 實現有幾個問題：最嚴重的是它會因為當 n 和 k 的值十分小時而溢位。注意這個 choose(n,k) 首先計算 factorial(n)， 即便 n 是乙個很小的值，它也會迅速增大到乙個非常大的數 ( 比如，21! 將溢位乙個無符號的 64 位數)。其次 choose(n,k) 的值由兩個階乘的乘積 來除，這也可能成為乙個非常大的數，得出的結果可能非常小。關鍵是即使 choose(n,k) 返回的結果很小，中間計算結果很容易溢位。
乙個更好的 choose(n,k) 實現使用乙個不同的方法計算其答案。改版的 choose(n,k) 使用以下不同的公式來計算：
choose(n,k) = (n * (n-1) * (n-2) * ... * (n-k+1)) / ( 1 * 2 * ... * k)
這個演算法看起來很醜，但用乙個例子來說明就知道，它更容易理解：
choose(7,3) = (7 * 6 * 5) / (1 * 2 * 3)
這個演算法取代了原來計算分子(乙個大數)，然後計算分母(乙個大數)，然後相除，你可以計算部分乘積法並隨意進行除法運算。對於 choose(7,3) 例子，你 先計算 7 * 6 並除以 2，得到 21(譯註：原文為「getting 24」顯然不對，7 * 6/2=21)(跳過此分數下面部分的第1項，因為被1除是沒有作用的)。這時用5乘以部分乘積並用3除，你可以得到答案35， 和前面的結果一樣。
這裡對 choose(n,k) 的第二次優化是由以下特性產生的：
choose(n,k) = choose(n, n-k).
舉個例子，choose(10,8) = choose(10,2)。這不是乙個明顯的關係，但是如果你用一些例子來試驗的話，你將看到為什麼這是對的。直接計算 choose(10,8) 之間涉及到計算七個部分乘積和七個除法，但是計算等價的 choose(10,2) 只要求乙個乘法和乙個除法操作。
綜上所述，我實現的 choose(n,k) 如 figure 5 所示。在 choose 函式中，我對 n 等於 k 的情況進行了快速檢查，如果為真，則返回 1。而 choose 演算法中沒有對之進行檢查，但它改進了生成特定 combination 物件元素的方法效能。choose 實現的剩餘部分用我剛剛解釋的演算法計算元素的總數。
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