本文主要通過logistics regression講解判別式模型由上文生成式模型的講解，我們大致了解了生成式模型，首先通過假設某些條件求出了聯合概率密度分布，再通過貝葉斯公式求出相應的分類概率。
判別式模型則是完全通過資料進行分析，沒有任何人為的假設。
首先我們看一下上文中最後推出的後驗概率：
\[\begin
p(blue|x) &= \frac\\
&= \frac}
\end
\]此時我們令 \(z=ln\frac\)，求出\(\frac = e^\)
帶入\(p(blue|x)\)變為
\[p(blue|x) =\frac}
\]學過的同學一看就知道這就是logistics distribution。這個影象估計都看膩了，我就不講解了。
目前的問題就是需要知道我們假設的 \(z\) 是什麼樣的。\(z=ln\frac\)。
此處我直接寫出結論，不再進行推導了。說明一下如何推導，我們可以假設\(p(x|blue),p(x|green)\)服從某一種分布。將其分布帶入到後驗概率。即可求出
\[z = wx+b
\]這種樣式。（無論用哪種分布，都會得到這樣的形式，這樣就不要人為假設服從哪種分布了）
既然這樣， 那我們直接將函式變為
\[p(blue|x) =\frac}
\]目前我們的任務是如何求出 \(w,b\) 。我們只有樣例資料，當然只能利用樣例資料來求了。。那怎麼求呢，因為資料有自變數取值，樣例分類。——那我們就可以定義乙個損失函式，利用梯度下降求出最優的 \(w,b\)
首先利用最大似然估計
\[h(w,b) = \prod_^(y^ip(blue|x^i)+(1-y^i)(1-p(blue|x^i)))
\]遇到連乘的問題首先取 \(ln\) 變為連加。
\[h(w,b) = \sum_^ ln (y^ip(blue|x^i)+(1-y^i)(1-p(blue|x^i)))
\]目標函式變為：
\[w^,b^ = \mathop h(w,b)}
\]為了好看，改一下：
\[w^,b^ = \mathop -h(w,b)}
\]接下來就可以利用梯度下降了。
此處用梯度下降
\[\begin
w^ &= w - \eta \frac \\
b^ &= b -\eta \frac
\end
\]將\(h(w,b)\)代入可得
\[\begin
w^ &= w - \eta \sum_^ ( p(x^i)- y^i )*x^i \\
b^ &= b -\eta \sum_^ p(x^i) - y^i
\end
\]最終求得 \(w^\) 和 \(b^\)
迭代10000次得到的結果為
\[\begin
w &= [-1.48102123 1.37684754] \\
b &= 3.773931680340649
\end
\]畫出\(p(blue|x)\)的等高線可以看出在概率為0.5時還是能較好的分開兩組資料
可以看出判別式模型中，完全是依據資料進行的分析，沒有新增任何人為的假設（對於任意的分布\(z\)都滿足\(z=wx+b\)的形式），直接根據貝葉斯後驗概率進行的推導。
至此兩種模型都講完，這兩者模型各有優缺點，當資料很少的時候，或許生成式模型中人為加入的限制更加有利於資料的分類，這會使得擬合效果更好。
附上**：
# classification
# only use part[0] & part[1]
# @author hongchuan cao
# @date 2019-7-8
from sklearn import datasets
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
class sgd(object):
def __init__(self):
self.iris = datasets.load_iris()
self.part = [, , ]
def classify(self):
for i in range(len(self.iris.target)):
# change list to array
for i in range(0, 3):
self.part[i] = np.array(self.part[i])
print(self.part[0][1])
def gradient(self):
w = np.array([1., 1.])
b = 4
learn_ratio = 0.001
iteration = 10000
for j in range(iteration):
sum_w = np.array([0., 0.])
sum_b = 0
for i in range(len(self.part[0])):
sum_w += (1.0 / (1 + np.exp(-1 * (np.dot(w, self.part[0][i].t) + b))) - 1) * self.part[0][i]
sum_b += (1.0 / (1 + np.exp(-1 * (np.dot(w, self.part[0][i].t) + b))) - 1)
for i in range(len(self.part[1])):
sum_w += (1.0 / (1 + np.exp(-1 * (np.dot(w, self.part[1][i].t) + b)))) * self.part[1][i]
sum_b += (1.0 / (1 + np.exp(-1 * (np.dot(w, self.part[1][i].t) + b))))
w = w - learn_ratio * sum_w / (len(self.part[0]) + len(self.part[1]))
b = b - learn_ratio * sum_b / (len(self.part[0]) + len(self.part[1]))
print(j, '-----------')
print(w,b)
return w, b
def ff(self, w, b, x):
return 1.0 / (1 + np.exp(-1 * (np.dot(w, x.t) + b)))
def plot1(self):
w, b = self.gradient()
xx = [x for x in np.arange(2, 8, 0.1)]
yy = [y for y in np.arange(1, 7, 0.1)]
z = [[self.ff(w, b, np.array([x, y])) for x in xx] for y in yy]
x, y = np.meshgrid(xx, yy)
cntr1 = plt.contourf(x, y, z)
plt.clabel(cntr1, colors='k', inline_spacing=3, fmt='%.1f', fontsize=10)
plt.plot(self.part[0][:, 0], self.part[0][:, 1], 'b.', label='0')
plt.plot(self.part[1][:, 0], self.part[1][:, 1], 'g.', label='1')
# plt.plot(self.part[2][:,0], self.part[2][:,1], 'r.', label='2')
plt.legend()
plt.xlabel('attribute0')
plt.ylabel('attribute1')
plt.show()
if __name__ == '__main__':
obj = sgd()
obj.classify()
obj.plot1()
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