支配集
概念
支配集：設g=(v,e)是無向簡單圖，d⊆v，若任意v∈v-d,都存在u∈d,使得uv∈e,則稱d為乙個支配集。
極小支配集：若d是圖g的支配集，且d的任何真子集都不再是支配集，則稱d為乙個極小支配集。
最小支配集：如果圖g的支配集d滿足對於g的任何支配集d』，都有|d|≤|d』|,則稱d是g的乙個最小支配集。
支配數：最小支配集d的元素數稱為圖g的支配數,記作γ(g)。
例如：
(1)v1、v2、v3不是支配集——>都不與v5相鄰
(2)v5、v6、v7構成支配集——>與剩餘點都相鄰，但不是極小支配集，因為移去v5仍是支配集
(3)v1、v3、v5是極小支配集但不是最小支配集——>由(2)知最小支配集可只包含兩個頂點
(4)v6、v3既是極小支配集又是最小支配集
(5)v6、v7也是最小支配集
性質
1、對於v中任意乙個頂點而言，它或者屬於支配集，或者與支配集中的乙個元素相鄰
2、乙個圖中極小支配集可能不唯一
3、乙個圖中最小支配集可能不唯一
4、最小支配集一定是極小支配集，但極小支配集不一定是最小支配集
5、特殊圖中的支配集
(a)在任意簡單圖g=(v,e),v都是支配集
(b)完全圖kn(n≥3)的支配數為1
(c)完全二分圖k
n,m 的支配數為min(n,m)
例項
例如，在乙個分布式計算系統中，每個節點都有一台計算伺服器，有些節點放置資料儲存器，節點之間使用資料線連線。為了提高訪問速度，要求每個節點都可以直接訪問資料儲存器，同時為了節約成本要求資料儲存器盡可能少，該如何放置？
選擇最小支配集放置資料儲存器。
點獨立集
概念
獨立集：
設g=(v,e)是乙個無向圖，s⊆v，若對任意地u,v∈s,都有u,v不相鄰，則s是g的點獨立集或簡稱獨立集。
極大獨立集：
若對g的任意獨立集t，都有s⊄t，則稱s是g的乙個極大獨立集
最大獨立集：
稱基數最大的獨立集為最大獨立集
獨立數：
圖g中最大獨立數的基數稱為獨立數，記作α(g)
(1)v1、v2、v3不是獨立集——>v1、v2相鄰
(2)v1、v3是獨立集但不是極大獨立集——>還可以向其中新增頂點v5
(3)v4、v6是極大獨立集但不是最大獨立集——>由(2)知頂點數可為3
(4)v1、v3、v5既是極大獨立集也是最大獨立集
性質
1、極大獨立集不是任何其它獨立集的子集
2、若s是g的極大獨立集，則對任意u∈v-s，都存在v∈s，使得u,vv相鄰
3、乙個圖的極大獨立集可能不唯一
4、乙個圖的最大獨立集可能不唯一
5、最大獨立集一定是極大獨立集，極大獨立集不一定是最大獨立集
6、特殊圖中的獨立集
(a)在任意圖中，空集都是獨立集
(b)完全圖kn(n≥3)的獨立數為1
(c)完全二分圖kn,m 的獨立數為max(n,m)
7、獨立數和支配數之間的關係：
定理1：乙個獨立集也是支配集當且僅當它是極大獨立集。
定理2：簡單無向圖的極大獨立集也是極小支配集
例項
在某個通訊系統中，由於電磁干擾，輸入符號可能和輸出符號不同
因此該通訊系統中只能使用中的部分符號，而不是全體。例如可以使用a1,a4,不能使用a1,a3,因為輸出是a1時將無法區分。
但又從效率角度出發，希望能提供使用的符號盡可能地多。
如果符號x,y具有相同的輸出，則在頂點x,y之間連一條邊。如圖
尋找最大獨立集a1,a4，就是我們能使用的符號（或a2,a4）
點覆蓋集
概念
點覆蓋：
設g=(v,e),v』⊆v,如果對任意的e∈e,都存在v∈v』，使得v是e的乙個端點，則稱v』是g的乙個點覆蓋集，簡稱點覆蓋。
極小點覆蓋：
如果v* 是點覆蓋，且v*的任何真子集都不再是點覆蓋，則稱v*是極小點覆蓋
最小點覆蓋：
基數最小的點覆蓋稱作最小點覆蓋
點覆蓋數：
最小點覆蓋v*的基數稱作圖g的點覆蓋數β(g)
(1)v1、v2、v3不是點覆蓋——>v5,v6這條邊的兩個頂點都未被包括
(2)v1、v2、v6、v4、v6、v7是點覆蓋但不是極小點覆蓋——>可將v2移去
(3)v1、v2、v3、v5、v7是極小點覆蓋但不是最小點覆蓋
(4)v1、v3、v4、v6既是極小點覆蓋也是最小點覆蓋
性質
1、在極小點覆蓋中，不存在所有相鄰頂點都在v*中的頂點
2、乙個圖的極小點覆蓋可能不唯一
3、乙個圖的最小點覆蓋可能不唯一
4、最大點覆蓋一定是極小點覆蓋，極小點覆蓋不一定是最小點覆蓋
5、明顯有β(g)≥γ(g)
6、特殊圖中的點覆蓋
(a)在任一簡單圖中，v都是點覆蓋
(b)完全圖kn(n≥3)的點覆蓋數為n - 1
(c)完全二分圖kn,m 的獨立數為min(n,m)
7、點覆蓋集與點獨立集之間的關係：
定理一：在簡單圖g=(v,e)中，v*⊆v是點覆蓋集當且僅當v-v*是獨立集
推論一：在簡單圖g=(v,e)中，v*⊆v是極小點覆蓋集當且僅當v-v*是極大獨立集
推論二：在簡單圖g=(v,e)中，v*⊆v是最小點覆蓋集當且僅當v-v*是最大獨立集，繼而有α(g) + β(g) = |v|
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