一次同餘方程與大衍求一術

前面已經提到，剩餘類可以看作乙個特殊的「數」，剩餘類環可以看作定義了剩餘類加法和乘法的「數集」.類似於實數集情形，我們也可以在剩餘類環中解方程或方程組。

例如，在模6的剩餘類環中解方程[5][x]=3，這裡[x]是模6的剩餘類環中的未知剩餘類，注意到

$$[5][x] = [3]\leftrightarrow [5x]=[3]\leftrightarrow 6|5x-3 \leftrightarrow 5x\equiv 3(mod \ 6)$$

通常，我們把含有未知數的同余式叫做同餘方程，方程$5x\equiv 3(mod \ 6)$是一類形式最簡單的同餘方程，叫做一次同餘方程，形式為

$$ax\equiv b(mod \ n)$$

注意，同餘方程的解並不是乙個數，而是模n下的乙個剩餘類.

對於一次同餘方程，我們關心下面幾個問題：

$ax\equiv b(mod \ n)$在什麼情況下有解？

有幾個解？

有解時如何求解？

$ax\equiv b(mod \ n) \ \rightarrow ax+nt=b$，由裴蜀不等式知，$ax+nt=b$有解的充分必要條件是$(a, n) | b$，且解的個數為，.

因此，得到如下結論：

一次同餘方程$ax\equiv b(mod \ n)$有解，則$(a,\ n) | b$，反過來，當$(a, \ m)|b$時，一次同餘方程$ax\equiv b(mod \ n)$恰有$(a, \ n)$個解.

下面看乙個一次同餘方程的例子：

例1.解一次同餘方程9x≡6(mod 15).

解：注意到(9, 15)=3，且3 | 6，故同餘方程有3個解，原同餘方程可簡化為3x≡2(mod 5)，由於3x2≡1(mod 5)，故x≡2x2=4(mod 5)。所以同餘方程的3個解分別為x≡4+0x5=4(mod 15)，x≡4+1x5=9(mod 15)，x≡4+2x5=14(mod 15).

大衍求一術是解一次同餘方程ax≡1(mod n)，其中a為正整數，a用現代數學語言，演算法步驟可表示為：

先規定$k_0 = 0,k_1=1,r_1=a$

對$n,a$做帶餘除法，$n=a q_2+r_2$，記$k_2 = k_0 - q_2 k_1$;

對$a,r_2$做帶餘除法，$a=r_2 q_3+r_3$，記$k_3 = k_1 - q_3 k_2$;

對$r_2,r_3$做帶餘除法，$r_2=r_3 q_4+r_4$，記$k_4 = k_2 - q_4 k_3$;

對$r_3,r_4$做帶餘除法，$r_3=r_2 q_5+r_5$，記$k_5 = k_3 - q_5 k_4$;

重複這種運算，直到餘數$r_n=1$，那麼最後所得的$k_n = k_ - q_n k_$滿足$ak_n \equiv 1 (mod \ n)$.於是$x \equiv a_k (mod \ n)$就是解。

下面考察大衍求一術的演算法原理：

$r_1=a\equiv ak_1(mod \ n)\\r_2=n-r_1 q_2 \equiv a(-q_2 k_1)=ak_2(mod \ n)\\r_3=r_1-r_2 q_3 \equiv a(k_1 - q_3 k_2) = ak_3(mod \ n)\\r_4=r_2-r_3 q_4 \equiv a(k_2 - q_4 k_3) = ak_4(mod \ n)$

而$r_n=1$，故$ak_n\equiv 1(mod \ n)$.這就是大衍求一法的原理。

例2.解同餘方程33x≡1(mod 74).

解：顯然(33, 74)=1

由於74=33x2 + 8，33=8x4 + 1，故$q_2=2,q_3=4,r_3=1$，依次可計算出

$$k_2=-2 \times 1 = -2,k_3= 1-4 \times (-2)=9.$$

因此原方程的解為

$$x\equiv 9(mod \ 74)$$

一次同餘方程與大衍求一術

一元線性同餘方程組

多元一次方程

一般方程與引數方程求直線交點

一次同餘方程與大衍求一術

一元線性同餘方程組

多元一次方程

一般方程與引數方程求直線交點

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